Empilement compact

Sur un plan, on peut disposer au maximum six cercles de rayon r autour d'un cercle de même rayon. Les centres de trois cercles en contact définissent un triangle équilatéral puisqu'ils sont distants de 2r les uns des autres. Chaque angle valant 60° (π/3), on peut mettre ainsi 6 triangles avec un sommet en commun pour former un hexagone régulier.

On peut constater aisément que c'est l'organisation la plus compacte qui soit en rangeant des billes de même volume dans une enceinte de taille appropriée.

La densité surfacique de cet arrangement est :

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}9069.}$

Joseph-Louis Lagrange prouva en 1773 qu'aucun arrangement régulier n'est plus dense. Tel n'est pas le cas lorsque les cercles n'ont pas la même taille (voir l'arrangement de rondelles d'agrumes).

Arrangement en quinconce d'un plan compact.

Deux manières d'empiler trois plans compacts.

Empilement compact de 35 sphères.

Considérons trois sphères de même diamètre en contact sur un plan (plan A). On peut placer une quatrième sphère, toujours du même diamètre, posée sur le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant un tétraèdre régulier.

En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). Lorsque l'on ajoute un troisième plan, on peut mettre les sphères soit en correspondance avec celles du premier plan (plan A), soit dans une troisième possibilité de placement définissant un nouveau plan compact (plan C). Et ainsi de suite : superposition (régulière ou non) de plans A, B ou C (deux lettres consécutives devant toujours être différentes).

En 1611, Johannes Kepler conjecture que c'est l'arrangement spatial le plus compact. En 1831, Carl Friedrich Gauss démontre la conjecture de Kepler sous réserve que l'arrangement soit régulier (sur un réseau)[1]. Le cas général est démontré par Thomas Hales en 1998 (suivi de quatre années de vérifications par des mathématiciens) et formellement prouvé en 2014, toujours par Thomas Hales.

Il existe ainsi trois types de plans compacts A, B et C qui peuvent en se combinant engendrer une infinité de types d'empilements compacts, qui constituent un exemple de polytypisme :

• A-B-A-B… empilement dit « hexagonal compact » ;
• A-B-C-A-B-C… empilement dit « cubique compact » ou « cubique à faces centrées » du nom du réseau de Bravais qui lui correspond ;
• A-B-A-C-A-B-A-C… empilement dit « double hexagonal » ;
• A-B-C-B-A-B-C-B… ;
• …

Quel que soit l'arrangement, chaque sphère est entourée de 12 autres sphères et la densité volumique vaut dans tous les cas :

${\displaystyle d={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0{,}740\,48.}$

Agencement en dimension 3 : empilement compact de sphères dans un espace en prisme hexagonal.

Agencement en dimension 3 : empilement compact de sphères dans un espace cubique.

Dans les espaces euclidiens de dimension supérieure à 3, le problème d'empilement compact se généralise aux hypersphères. Les densités des arrangements réguliers les plus compacts sont connues jusqu'en dimension 8 et pour la dimension 24 (voir l'article « Constante d'Hermite »).

En 2016, Maryna Viazovska annonce que le réseau E₈ (en) fournit l'empilement optimal (pas forcément régulier) en dimension 8[2]^,[3], et peu après, en collaboration avec d'autres mathématiciens, elle produit une preuve similaire montrant que le réseau de Leech est optimal pour la dimension 24[4]^,[5]. Elle reçoit la médaille Fields pour ces découvertes en 2022[6].

Asymptotiquement, la densité ${\displaystyle d_{n}}$ de l'arrangement le plus compact (régulier ou non) décroît exponentiellement en fonction de la dimension n. Il n'y a pas de raison de penser que les arrangements les plus denses soient réguliers en général. Néanmoins le meilleur encadrement connu sur ${\displaystyle d_{n}}$ est le même dans les deux cas[7] :

${\displaystyle 2^{-n-o(n)}\leq d_{n}\leq 2^{-0{,}5990n+o(n)}.}$

En cristallographie, les atomes ou les ions peuvent s’organiser en couches compactes. C'est notamment le cas pour les structures métalliques, les cristaux n'étant formés que d'un seul type de particules. Si on les modélise par des sphères, l’empilement est compact lorsque les sphères sont en contact.

Les deux principaux types d'empilement compact sont :

• hexagonal compact hc (ou hcp pour Hexagonal close-packed) : les couches d’atomes s’empilant suivant l’ordre ABAB, le polyèdre de coordination des atomes est un anticuboctaèdre ;
• cubique à faces centrées cfc (ou ccp pour cubic close-packed) : les couches d’atomes s’empilant suivant l’ordre ABC, le polyèdre de coordination des atomes est un cuboctaèdre.

Exemples :

• cfc : l'austénite, l'aluminium.

La densité volumique porte le nom de compacité. Le taux de remplissage est d'environ 74 % (26 % de vide).