Hexagone

Maille hexagonale que l'on peut rencontrer dans un cristal bidimensionnel avec réflexion par rapport à une droite et rotations d'ordre 6 autour d'un point. L'hexagone est ainsi composé de six triangles équilatéraux.

L'hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.

Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l'hexagone régulier :

1. longueur d'un côté a ;
2. apothème : ligne droite perpendiculaire à l'un des côtés qui rejoint le centre de l'hexagone ; sa longueur est notée h ;
3. rayon du cercle circonscrit r_c ;
4. rayon du cercle inscrit r_i.

Nous avons ainsi les relations suivantes :

${\displaystyle a=r_{\mathrm {c} }}$

${\displaystyle h=r_{\mathrm {i} }}$

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

L'aire d'un hexagone régulier de côté a est

${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}.}$

L'aire d'un hexagone régulier dont le cercle inscrit a pour rayon r_i est

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}r_{\mathrm {i} }^{2}.}$

Démonstration : calcul de l'aire par décomposition en triangles

L'hexagone construit a pour tracé la base de six triangles équilatéraux accolés

Soient :

a, la longueur d'un des 6 côtés de l'hexagone ;

h, la longueur de l'apothème ;

r_c : longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l'hexagone à l'un des 6 sommets) ;

n, le nombre de côtés du polygone régulier (pour la formule générale).

L'aire d'un hexagone régulier peut se calculer avec la formule A = 3ah puisque l'aire d'un polygone régulier à n côtés vaut nah/2.

Cette formule permet de calculer l'aire en divisant l'hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme r_c = a, l'apothème h se déduit à l'aide de la formule de Pythagore ${\displaystyle \textstyle \ h={\sqrt {r_{\mathrm {c} }^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r}$, d'où ${\displaystyle \textstyle A=3ah={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}r_{\mathrm {c} }^{2}.}$

Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le théorème de Gauss-Wantzel[1] : 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d'Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :

Image animée de gauche : un hexagone régulier inscrit dans un cercle. Ce polygone régulier est dessiné au moyen d'un compas, une règle et d'un crayon de papier.	On construit un cercle C de centre O et de diamètre [AD]; Puis, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon [AO]: l'arc de cercle coupe le cercle C en B et en F; (3) Les diamètres de C passant par B et par F coupent le cercle en C et en E; (4 - 5) En joignant les points du cercle A, B, C, D, E et F, on obtient un hexagone régulier. (6 - 11)

Pavage hexagonal.

Un hexagone possède six axes de symétrie : trois axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, trois axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.

L'hexagone régulier permet de créer un pavage périodique.

• Il existe de nombreuses molécules et atomes qui prennent une forme hexagonale grâce à leurs liaisons covalentes :
  • En chimie, l'hexagone est le représentant d'un alcane cyclique : le cyclohexane.
  • Dans la nature, un autre élément fréquent à forme hexagonale est le flocon de neige. Les molécules d'eau qui les composent imposent des angles réguliers à ses cristaux.
• Et à plus grande échelle macroscopique, cette forme est aussi visible dans notre environnement :
  • En géologie, les fentes de dessiccation et les coulées de lave refroidies prennent cette même configuration géométrique sous forme de colonnes basaltiques. La Chaussée des Géants en Irlande du Nord est un très bel exemple de ce type de refroidissement optimal d'une coulée basaltique en fusion.
  • Des bulles de savon s'organisent toutes en hexagones lorsqu'il y en a de trop dans un espace fermé. Elles prennent alors la forme d'hexagone, qui correspond ici à un optimum isopérimétrique.
  • 

    « Les ruches des abeilles étaient aussi bien mesurées il y a mille ans qu'aujourd'hui, et chacune d'elles forme cet hexagone aussi exactement la première fois que la dernière. » Blaise Pascal Préface pour un traité du vide (1651).
    Les alvéoles d'abeille, construites afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L'hexagone apparaît comme une figure optimale, pour l'abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c'est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l'espace, l'hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre donné. Aucune autre figure permettant de paver l'espace n'utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l'œuvre de Pappus d'Alexandrie, un géomètre grec de l'antiquité. Cependant, en 2013, le professeur Bhushan Lal Karihaloo (en), confirmant une proposition initiale de Darwin, a montré que le travail incessant des ouvrières chauffe les gâteaux de cire alvéolaires circulaires à une température de 45 °C, la viscoélasticité permettant ainsi, par simple compression des alvéoles entre elles, de passer d'une forme circulaire à une forme hexagonale (voir l'article détaillé Alvéole d'abeille).
  • La jonquille possède 6 pétales soudés en tube hexagonal autour de l'ovaire. En effet, c'est ici aussi la plus grande surface possible pour attirer les insectes en son sein.
  • Dans la dynamique des fluides, les flux en rotation produisent des structures instables, telles que des vortex. Ils sont à l'origine des tornades, mais aussi des courants et autres écoulements. La figure géométrique ainsi observable est appelée « seau de Newton » ou tout simplement un hexagone.
  • Au niveau de la région boréale du pôle Nord de Saturne, la sonde spatiale Cassini (2006 à 2013) et Voyager (1980) ont observé à 78 degrés de latitude nord une structure hexagonale. Elle a été observée depuis un point situé à 902 000 km au-dessus des nuages et est particulièrement persistante.
  • Les cellules de grille (grid cell) du cortex entorhinal médial des mammifères présentent un pattern hexagonal afin de représenter l'espace, participant ainsi à la mémoire et à la représentation spatiale.

Un hexagramme de Pascal est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par Blaise Pascal, est très utile pour l'étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.

• De par sa forme grossièrement hexagonale, la France métropolitaine est souvent appelée « l'Hexagone ».
• Au cours du XVII^e siècle, suivant un idéal architectural issu de la Renaissance[2], des villes de Sicile comme Avola ou Grammichele détruites par un tremblement de terre en 1693, furent reconstruites en suivant un plan hexagonal.
• Du fait de ses possibilités de pavage et des mouvements simples qu'il permet, l'hexagone est une figure très répandue dans les jeux de guerre.