Hypercube magique

En mathématiques, un hypercube magique de dimension d est la généralisation d'un carré magique (d = 2), d'un cube magique (d = 3) et d'un tesseract magique (d = 4), c'est-à-dire un ensemble d'entiers strictement positifs arrangés dans un motif de taille n × n × n × ... × n tel que la somme des nombres de chaque pile (le long de chaque axe) ainsi que des diagonales spatiales (en) principales est égale à un nombre unique, qu'on appelle alors la constante magique de l'hypercube. Le nombre n est appelé l'ordre de l'hypercube.

Existence

Des hypercubes magiques d'ordre 3 de dimensions 5, 6, 7 et 8 ont été construits en 1962 par John R. Hendricks (en)[1]^,[2].

Marián Trenkler[3] a démontré qu'en toute dimension d > 1, il existe des hypercubes magiques d'ordre n si et seulement si n ≠ 2. De la démonstration découle une construction d'un hypercube magique.

Le langage de programmation R inclut un module, library(magic), qui peut créer des hypercubes magiques de n'importe quelle dimension (avec n multiple de 4).

Hypercubes magiques parfaits

Si un hypercube magique de dimension d et d'ordre n est constitué des nombres 1, 2, ..., n^d, alors sa constante magique est égale à $M_{d}(n)={n(n^{d}+1) \over 2}.$

Si de plus les sommes de chaque diagonale d'une section plane donnent aussi la constante magique, l'hypercube magique est dit parfait ; sinon, il est dit semi-parfait. Ceci généralise l'ancienne définition des cubes magiques parfaits.

Cependant, Hendricks appelait « parfaits » des hypercubes magiques plus particuliers, généralisant les carrés et cubes diaboliques (que le missionnaire A. H. Frost avait baptisés Nasik[1], d'après sa ville de résidence). Ces hypercubes magiques sont ceux pour lesquels la constante M_d(n) est non seulement égale aux sommes précédentes mais aux sommes de tous les alignements (brisés) de n points (il en passe (3^d − 1)/2 par chacun des n^d points). C'est pourquoi certains auteurs[1] préfèrent les appeler hypercubes magiques nasik (en).

Le plus petit tesseract magique nasik est d'ordre 16 ; sa constante magique est donc[4] M₄(16) = 524 296. Il a été découvert en 1999 par Hendricks et vérifié par Cliff Pickover, après environ dix heures de calcul sur un système IBM IntelliStation (en)[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Magic hypercube » (voir la liste des auteurs).

(en) Harvey Heinz, « Magic Hypercubes - Overview », sur magic-squares.
(en) Page à propos de J. R. Hendricks (1929-2007), météorologiste de Colombie-Britannique.
(en) Page personnelle de Marián Trenkler.
La suite d'entiers M₄(n) est la suite A021003 de l'OEIS.
(en) Clifford Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars, Princeton University Press, 2011 (lire en ligne), p. 121.

Lien externe

Jean Guibbert, professeur de mathématiques, « Algorithme de construction » d'un tesseract magique d'ordre impair arbitraire

Arithmétique et théorie des nombres

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[HH-1] (en) Harvey Heinz, « Magic Hypercubes - Overview », sur magic-squares.

[2] (en) Page à propos de J. R. Hendricks (1929-2007), météorologiste de Colombie-Britannique.

[3] (en) Page personnelle de Marián Trenkler.

[4] La suite d'entiers M₄(n) est la suite A021003 de l'OEIS.

[5] (en) Clifford Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars, Princeton University Press, 2011 (lire en ligne), p. 121.