Inégalité de Hardy

L'inégalité de Hardy est une inégalité en mathématiques, nommée d'après G. H. Hardy. Ce résultat énonce que si $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ est une suite de nombres réels positifs, alors pour chaque nombre réel p > 1 on a

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

Si le membre de droite est fini, l'égalité tient si et seulement si $a_{n}=0$ pour tout n .

Une version intégrale de l'inégalité de Hardy énonce ce qui suit : si f est une fonction mesurable à valeurs positives, alors

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vraie si et seulement si f ( x ) = 0 presque partout .

L'inégalité de Hardy a été publiée et prouvée pour la première fois (du moins la version discrète avec une constante moins précise) en 1920 dans une note de Hardy.[1] La formulation originale était sous une forme intégrale légèrement différente de la précédente.

Version générale avec poids

On a une version générale de l'inégalité de Hardy avec poids: [2]^:§329

Si $\alpha +{\tfrac {1}{p}}<1$ , alors

\int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}1-\alpha -{\frac {1}{p}}{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx

Si $\alpha +{\tfrac {1}{p}}>1$ , alors

\int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}\alpha +{\frac {1}{p}}-1{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.

Version multidimensionnelle

Dans le cas multidimensionnel, l'inégalité de Hardy peut être étendue aux espaces $L^{p}$ , prenant la forme [3]

\left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(R^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(R^{n})},2\leq n,1\leq p<n,

où $f\in C_{0}^{\infty }(R^{n})$ , et où la constante ${\frac {p}{n-p}}$ est optimale.

Preuve de l'inégalité

Version intégrale

Un changement de variables donne

$\left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\ dx\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,ds\right)^{p}\,dx\right)^{1/p},$

qui est inférieur ou égal à $\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,dx\right)^{1/p}\,ds$ par l'inégalité intégrale de Minkowski. Enfin, par un autre changement de variables, la dernière expression est égale à
$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Version discrète

En supposant que le côté droit soit fini, on doit avoir $a_{n}\to 0$ quand $n\to \infty$ . Par conséquent, pour tout entier positif j, il n'y a qu'un nombre fini de termes supérieurs à $2^{-j}$ . Cela permet de construire une suite décroissante $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots$ contenant les mêmes termes positifs que la suite d'origine (mais éventuellement aucun termes nuls). Puisque $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}$ pour tout n, il suffit de montrer l'inégalité pour la nouvelle suite. Cela découle directement de la forme intégrale, en définissant $f(x)=b_{n}$ si $n-1<x<n$ et $f(x)=0$ autrement. En effet, on a

$\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}$

et pour $n-1<x<n$ , on a

${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geq {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}$

(la dernière inégalité équivaut à $(n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}$ , ce qui est vrai car la nouvelle suite est décroissante) et donc

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx$ .

Voir également

Inégalité de Carleman

Notes

(en) Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6, n^os 3–4,‎ 1920, p. 314–317 (DOI 10.1007/BF01199965, lire en ligne)
(en) Hardy, Littlewood et Pólya, Inequalities, Cambridge, UK, 1952, Second éd.
(en) Michael Ruzhansky et Durvudkhan Suragan, Hardy Inequalities on Homogeneous Groups : 100 Years of Hardy Inequalities, Birkhäuser Basel, 2019, 571 p. (ISBN 978-3-030-02894-7, lire en ligne)

Bibliographie

(en) G. H. Hardy, Littlewood J.E. et Pólya, G., Inequalities, 2nd ed, Cambridge etc., Cambridge University Press, 1952, 324 p. (ISBN 0-521-35880-9)
Michiel Hazewinkel, ed. Hardy inequality, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001
(en) Alois Kufner et Persson, Lars-Erik, Weighted inequalities of Hardy type, Singapore/River Edge (N.J.)/London etc., World Scientific Publishing, 2003, 357 p. (ISBN 981-238-195-3)
Nader Masmoudi, About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann (eds.), An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2011
Michael Ruzhansky et Suragan, Durvudkhan, Hardy Inequalities on Homogeneous Groups : 100 Years of Hardy Inequalities, Birkhäuser Basel, 2019, 571 p. (ISBN 978-3-030-02895-4, lire en ligne)

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[Hardy1920-1] (en) Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6, n^os 3–4,‎ 1920, p. 314–317 (DOI 10.1007/BF01199965, lire en ligne)

[2] (en) Hardy, Littlewood et Pólya, Inequalities, Cambridge, UK, 1952, Second éd.

[3] (en) Michael Ruzhansky et Durvudkhan Suragan, Hardy Inequalities on Homogeneous Groups : 100 Years of Hardy Inequalities, Birkhäuser Basel, 2019, 571 p. (ISBN 978-3-030-02894-7, lire en ligne)