Lagrangien (théorie des champs)

Pour un unique champ scalaire ${\displaystyle \varphi }$, la densité lagrangienne prendra la forme[nb 1]^,[4] :

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$

et pour plusieurs champs scalaires :

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$

En mathématiques, les champs scalaires s'entendent comme des coordonnées sur un faisceau de fibres, et les dérivées du champ s'entendent comme des sections du faisceau de jet (en).

Ce qui précède peut être généralisé pour les champs de vecteurs, les champs de tenseurs et les champs de spineurs . En physique, les fermions sont décrits par des champs de spineurs. Les bosons sont décrits par des champs tensoriels, qui incluent des champs scalaires et vectoriels comme cas particuliers.

Par exemple, s'il y a ${\displaystyle m}$ champs scalaires à valeurs réelles, ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$, alors la variété de champ est ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ . Si le champ est un champ vectoriel réel, alors la variété de champ est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

L' intégrale temporelle du Lagrangien est appelée l' action et est notée S . En théorie des champs, une distinction est parfois faite entre le lagrangien L, dont l'intégrale de temps est l'action

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$

et la densité lagrangienne ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, que l'on intègre sur tout l' espace-temps pour obtenir l'action :

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$

L' intégrale de volume spatial de la densité lagrangienne est le lagrangien ; en 3D,

${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$

L'action est souvent appelée fonctionnelle d'action, en ce sens qu'elle est fonction des champs (et de leurs dérivées).

En présence de gravité, ou lors de l'utilisation de coordonnées curvilignes générales, la densité lagrangienne ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ comprendra un facteur de ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$ . Cela garantit que l'action est invariante sous les transformations de coordonnées générales. Dans la littérature mathématique, l'espace-temps est considéré comme une variété riemannienne ${\displaystyle M}$ et l'intégrale devient alors la forme volume

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$

Ici le ${\displaystyle \wedge }$ est le produit en coin et ${\displaystyle {\sqrt {|g|}}}$ est la racine carrée du déterminant ${\displaystyle |g|}$ du tenseur métrique ${\displaystyle g}$ sur ${\displaystyle M}$ . Pour un espace-temps plat ( par exemple espace-temps de Minkowski ), l'unité de volume est un, c'est-à-dire ${\displaystyle {\sqrt {|g|}}=1}$ et donc il est généralement omis lorsque l'on parle d'un espace temps plat. De même, l'utilisation des symboles de produits en coin n'offre aucun aperçu supplémentaire sur le concept ordinaire de volume dans le calcul multivarié, et ceux-ci sont donc également abandonnés. Certains manuels plus anciens, par exemple Landau et Lifschitz écrivent ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ pour la forme volumique, puisque le signe moins convient aux tenseurs métriques de signature (+ − − − ) ou ( − +++) (puisque le déterminant est négatif, dans les deux cas). Lorsque l'on parle de la théorie des champs sur les variétés riemanniennes générales, la forme de volume est généralement écrite dans la notation abrégée ${\displaystyle *(1)}$ où ${\displaystyle *}$ est l' étoile Hodge . C'est-à-dire,

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$

et donc

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$

Il n'est pas rare que la notation ci-dessus soit considérée comme superflue, et l'on retrouve donc fréquemment la forme :

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$

Cependant, même si elle n'est pas explicitement écrite, la forme volume est implicitement présente dans cette intégrale.

Les équations d'Euler-Lagrange décrivent le flux géodésique du champ ${\displaystyle \varphi }$ en fonction du temps. En prenant la variation par rapport à ${\displaystyle \varphi }$, on obtient

${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$

En résolvant, avec respect des conditions aux limites, on obtient les équations d'Euler–Lagrange :

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$

La densité lagrangienne pour la gravité newtonienne est :

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$

avec Φ le potentiel gravitationnel, ρ la masse volumique et G en m ³ ·kg ⁻¹ ·s ⁻² la constante gravitationnelle . La densité ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ a des unités de joules par mètre cube (J.m^-3). Ici, le terme d'interaction fait intervenir une masse volumique continue ρ en kg·m ⁻³ . Ceci est nécessaire car l'utilisation d'une source ponctuelle pour un champ entraînerait des problèmes mathématiques dans le calcul.

Ce lagrangien peut s'écrire sous la forme ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$, avec le ${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$ fournissant un terme cinétique, et l'interaction ${\displaystyle V=\rho \Phi }$ le terme potentiel. Voir aussi la théorie de la gravitation de Nordström pour savoir comment cela pourrait être modifié pour faire face aux changements au fil du temps. Cette forme est reprise dans l'exemple suivant d'une théorie de champ scalaire.

La variation de l'intégrale par rapport à Φ est :

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$

Par intégration par parties, rejet de l'intégrale totale et division par δΦ, la formule devient :

${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{1 \over 4\pi G}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$

ce qui équivaut à :

${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$

ce qui donne le théorème de Gauss pour la gravité .

Le lagrangien pour un champ scalaire se déplaçant dans un potentiel ${\displaystyle V(\phi )}$ peut être écrit comme

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$

Ce n'est pas un hasard si la théorie scalaire ressemble au lagrangien du manuel de premier cycle ${\displaystyle L=T-V}$ pour le terme cinétique d'une particule de point libre écrit comme ${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ . La théorie scalaire est la généralisation de la théorie des champs d'une particule se déplaçant dans un potentiel. Quand le ${\displaystyle V(\phi )}$ est le potentiel du chapeau mexicain, les champs résultants sont appelés les champs de Higgs.