Lemme de Krasner

Soit ${\displaystyle K}$ un corps valué complet non archimédien et soit ${\displaystyle {\bar {K}}}$ une clôture algébrique séparable de ${\displaystyle K}$. Étant donné un élément ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle {\bar {K}}}$, notons ${\displaystyle \alpha _{2},\ldots \alpha _{n}}$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante[1]^,[2]^,[3].

• Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent[4]. En d'autres termes, étant un élément premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ d'un corps global ${\displaystyle L}$, la clôture séparable de la complétion ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adique de ${\displaystyle L}$ est égale à la complétion ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$-adique de la clôture séparable de ${\displaystyle L}$ (où ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$ est un nombre premier de ${\displaystyle {\bar {L}}}$ au-dessus ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$).
• Une autre application consiste à prouver que ${\displaystyle \mathbf {C} _{p}}$, la complétion de la clôture algébrique de ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$ est algébriquement clos[5]^,[6].

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante[7]. Considérons un polynôme monique

${\displaystyle f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})}$

de degré ${\displaystyle n>1}$ à coefficients dans un corps hensélien ${\displaystyle (K,v)}$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique ${\displaystyle {\bar {K}}}$. Soient I et ${\displaystyle J}$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$. Considérons de plus un polynôme

${\displaystyle g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})}$

à coefficients et racines dans ${\displaystyle {\bar {K}}}$ et supposons que . Supposons que

${\displaystyle v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*})}$ pour tout ${\displaystyle i\in I}$ et tout ${\displaystyle j\in J}$.

Alors les coefficients des polynômes

${\displaystyle g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*})}$ et ${\displaystyle \ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})}$

sont contenus dans l'extension de ${\displaystyle K}$ engendré par ${\displaystyle g}$. (Le lemme de Krasner original correspond au cas où ${\displaystyle g}$ est de degré 1.)

• Jean-François Dat, Cours introductif de M2 : Théorie des nombres, Paris, Université Pierre et Marie Curie Master de mathématique, coll. « Master de mathématiques », 2012-2013 (lire en ligne).
• David Brink, « New light on Hensel's Lemma », Expositiones Mathematicae, vol. 24,‎ 2006, p. 291–306 (ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2006.01.002, zbMATH 1142.12304)
• Falko Lorenz, Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer-Verlag, 2008 (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001)
• Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2004 (ISBN 3-540-21902-1, zbMATH 1159.11039), p. 206
• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt et Kay Wingberg, Cohomology of number fields, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften » (n^o 323), 2008, 2^e éd., xvi+825 (ISBN 978-3-540-37888-4, Math Reviews 2392026, zbMATH 1136.11001).

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