Loi normale multidimensionnelle

Cette section s'intéresse à la construction de la loi normale multidimensionnelle dans le cas non dégénéré où la matrice de variance-covariance Σ est définie positive.

Rappel sur la loi normale unidimensionnelle

Le théorème central limite fait apparaître une variable U de Gauss centrée réduite (moyenne nulle, variance unité) :

${\displaystyle \mathbb {E} [U]=0\qquad \mathbb {E} [U^{2}]=1}$ ${\displaystyle p_{U}(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}\,}$

On passe à la variable de Gauss générale par le changement de variable

${\displaystyle X=\sigma U+\mu \,}$

qui conduit à

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu \qquad \mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle p_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{(x-\mu )^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}$

La densité de cette loi est caractérisée par une exponentielle comportant un exposant du second degré.

Loi unitaire à plusieurs variables

Étant données N variables aléatoires indépendantes de même loi de Gauss centrée réduite, leur densité de probabilité jointe s'écrit :

${\displaystyle p_{U_{1}...U_{N}}(u_{1},...,u_{N})={\frac {1}{{(2\pi )}^{N/2}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{1 \over 2}\sum _{j=1}^{N}u_{j}^{2}}}$

C'est la loi qui est à la base de la loi du χ².

Elle peut être synthétisée dans des formules matricielles. On définit d'abord le vecteur aléatoire U qui a pour composantes les N variables et le vecteur d'état u qui a pour composantes leurs valeurs numériques.

On peut associer au vecteur d'état le vecteur moyenne qui a pour composantes les moyennes des composantes, c'est-à-dire, dans ce cas, le vecteur nul :

${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {U}}]={\boldsymbol {0}}\,}$

La matrice de covariance possède des éléments diagonaux (les variances) qui sont égaux à 1 tandis que les éléments non diagonaux (les covariances au sens strict) sont nuls : c'est la matrice unité. Elle peut s'écrire en utilisant la transposition :

${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {U}}^{\top }]={\boldsymbol {I}}\,}$

Enfin, la densité de probabilité s'écrit :

${\displaystyle p_{\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {u}})={\frac {1}{{(2\pi )}^{N/2}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{1 \over 2}{\boldsymbol {u}}^{\top }{\boldsymbol {u}}}}$

Loi générale à plusieurs variables

Elle s'obtient à partir d'un changement de variable affine

${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {\mu }}}$

Le problème sera limité au cas d'une matrice a carrée (même nombre de variables en sortie) et régulière. L'opérateur espérance vectoriel étant linéaire, on obtient le vecteur moyen

${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {a}}\mathbb {E} [{\boldsymbol {U}}]+{\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu }}\,}$

et la matrice de covariance

${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {(X-\mu )}}{\boldsymbol {(X-\mu )}}^{\top }]=\mathbb {E} [{\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {U}}^{\top }{\boldsymbol {a}}^{\top }]={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {a}}^{\top }={\boldsymbol {\Sigma }}\,}$

La densité de probabilité s'écrit

${\displaystyle p_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{{(2\pi )}^{N/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\;\mathrm {e} ^{-{1 \over 2}{\boldsymbol {(x-\mu )}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {(x-\mu )}}}}$

Remarques diverses

• Un nouveau changement de variables linéaire appliqué à X aboutit à une densité de probabilité qui a la même forme mathématique :

${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {\nu }}={\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {\nu }}}$

• Les formules essentielles, obtenues commodément à partir du calcul matriciel, se traduisent en termes scalaires :

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{N}{a_{kj}U_{j}}\,(k=1,N)\,}$ ${\displaystyle p_{X_{1}...X_{N}}(x_{1},...x_{N})={\frac {1}{{(2\pi )}^{N/2}\det \!\left({\boldsymbol {\Sigma }}\right)^{1/2}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{1 \over 2}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}t_{jk}(x_{j}-\mu _{j})(x_{k}-\mu _{k})}}$

les t_jk étant les coefficients de l'inverse de la matrice de covariance.

• L'exposant dans la formule qui précède est du second degré par rapport à toutes les variables. On vérifie qu'une intégration par rapport à l'une d'entre elles donne un résultat analogue. Les (N-1) intégrations successives aboutissent à une loi de probabilité marginale munie d'un exposant quadratique : chaque variable est gaussienne, ce qui n'était pas évident a priori.

• En combinant les remarques précédentes, on aboutit au résultat selon lequel toute combinaison linéaire des composantes d'un vecteur gaussien est une variable gaussienne.

• Dans cette loi de probabilité jointe, à tout couple de variables décorrélées correspond une matrice de covariance diagonale, ce qui assure leur indépendance. En effet, le couple est lui-même gaussien, et sa densité jointe est le produit des densités de ses deux composantes.
• Le terme présent dans l'exponentielle ${\displaystyle \left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }}\right)^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }}\right)}$ est le carré de la distance de Mahalanobis.

Si ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \Sigma }$ sont partitionnées comme décrit ci-dessous

${\displaystyle \mu ={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}\quad }$ avec les dimensions ${\displaystyle {\begin{bmatrix}q\times 1\\p\times 1\end{bmatrix}}}$ où ${\displaystyle N=p+q}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}\quad }$ avec les dimensions ${\displaystyle {\begin{bmatrix}q\times q&q\times p\\p\times q&p\times p\end{bmatrix}}}$

et

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim {\mathcal {N}}_{N}\left(\mu ,\Sigma \right)}$

alors la distribution de ${\displaystyle X_{1}}$ conditionnellement à ${\displaystyle X_{2}=a}$ est une loi normale multidimensionnelle ${\displaystyle (X_{1}|X_{2}=a)\sim {\mathcal {N}}_{q}(\mu _{1|a},\Sigma _{11.2})}$ où

${\displaystyle \mu _{1|a}=\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(a-\mu _{2}\right)}$

et la matrice de variance-covariance s'écrit

${\displaystyle \Sigma _{11.2}=\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}.}$

Cette matrice est le complément de Schur de ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } _{22}}}$ dans ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$.

On remarquera que savoir que ${\displaystyle X_{2}}$ vaut a change la variance de ${\displaystyle X_{1}}$ et que, de manière tout aussi surprenante, la moyenne est aussi modifiée. Cela est à comparer avec la situation dans laquelle on ne connaît pas a, auquel cas ${\displaystyle X_{1}}$ a pour distribution ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{q}\left(\mu _{1},\Sigma _{11}\right)}$. Cela résulte de la condition ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}_{N}\left(\mu ,\Sigma \right)}$ qui n'a rien d'anodine !

La matrice ${\displaystyle \Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}}$ est appelée matrice des coefficients de régression.

• Les iso-contours d'une loi normale multidimensionnelle non singulière sont des ellipsoïdes centrés sur la moyenne μ. Les directions des axes principaux de ces ellipsoïdes sont les vecteurs propres de Σ. Les carrés des longueurs relatives de ces axes sont donnés par les valeurs propres associées à ces vecteurs propres.

• L'entropie différentielle de la loi normale multidimensionnelle est donnée par[1]

${\displaystyle H\left(f\right)=-\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(x)\ln f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(N+N\ln \left(2\pi \right)+\ln \det \!\left(\Sigma \right)\right)\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln\{(2\pi \mathrm {e} )^{N}\det \!\left(\Sigma \right)\}}$

• La divergence de Kullback-Leibler prend une forme particulière dans le cas de deux lois normales multidimensionnelles ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{0}(\mu _{0},\Sigma _{0})}$ et ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}(\mu _{1},\Sigma _{1})}$

${\displaystyle D_{\text{KL}}(N_{0}\|N_{1})={1 \over 2}\left(\ln \left({\frac {\det \!\left(\Sigma _{1}\right)}{\det \!\left(\Sigma _{0}\right)}}\right)+\mathrm {tr} \left(\Sigma _{1}^{-1}\Sigma _{0}\right)+\left(\mu _{1}-\mu _{0}\right)^{\top }\Sigma _{1}^{-1}(\mu _{1}-\mu _{0})-N\right).}$

• La notion de fonction cumulative Φ (ou fonction de répartition) de la loi normale en dimension 1 peut se généraliser à la loi normale multidimensionnelle[2]. Pour ce faire, le principe clé est la distance de Mahalanobis : la fonction cumulative ${\displaystyle \Phi _{n}(r)}$ est la probabilité que la variable aléatoire normale tombe dans l'ellipse déterminée par sa distance de Mahalanobis r au Gaussien. Des formules analytiques existent pour calculer les valeurs de la fonction cumulative[2].

Pour simuler une loi multinormale ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\,\Sigma )}$ dont les paramètres sont connus ou estimés, soit ${\displaystyle m\sim \mu }$ et ${\displaystyle C\sim \Sigma }$ , on cherche à générer un échantillon artificiel de vecteurs indépendants de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$.

Si C n’est pas diagonale, il n’est pas envisageable de produire successivement les n variables X_i, car cette méthode ne respecterait pas les covariances.

L'approche consiste plutôt à exprimer le vecteur X comme une combinaison linéaire de variables scalaires ${\displaystyle Y_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ indépendantes entre elles de la forme

${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=m+B{\boldsymbol {Y}}}$

où B est une matrice carrée satisfaisant la contrainte

${\displaystyle C=BB^{T}.}$

Une propriété de la covariance montre en effet que cette contrainte assure le respect de la covariance de X.

Après avoir déterminé B, il suffit de générer des simulations des Y_i pour obtenir (à l’aide de la relation ci-dessus) des versions indépendantes du vecteur X.

Il y a plusieurs possibilités pour le choix de B :

• Si la loi multinormale est non dégénérée, la factorisation de Cholesky de C (alors inversible) permet de déterminer une matrice triangulaire inférieure B satisfaisant précisément la contrainte précédente.
• Dans le cas général, C est semi-définie positive et le procédé de diagonalisation permet de caractériser

${\displaystyle C=ODO^{T}}$

où O est une matrice orthogonale dont les colonnes sont des vecteurs propres de C, et D est une matrice diagonale constituée des valeurs propres de C, toutes positives ou nulles. Il suffit alors de choisir

${\displaystyle B=OD^{1/2}}$.

Remarques :

1. Bien que ces approches soient équivalentes en théorie, la seconde est numériquement préférable car elle présente une meilleure stabilité lorsque la condition de la matrice de covariance est « mauvaise ».
2. Le plus souvent, un générateur de nombres pseudo-aléatoires produit en boucle les valeurs d’une série limitée (on retrouve les mêmes résultats après avoir atteint la fin de la série). Attention à cet aspect lorsqu’il s’agit de générer un grand nombre de simulations d’un vecteur multinormal de taille n élevée : l’indépendance ne sera plus assurée après épuisement de la série.

La loi normale multidimensionnelle est notamment utilisée dans le traitement d'images médicales. Ainsi elle est par exemple fréquemment utilisée dans l'imagerie du tenseur de diffusion. Cette imagerie modélise en effet la distribution des principales directions de diffusion de l'eau par une loi normale multidimensionnelle de moyenne nulle. Ainsi le tenseur en chaque point de l'image n'est autre que la matrice de covariance de la loi normale multidimensionnelle.

Une seconde application de la loi normale multidimensionnelle est la détermination, à partir des intensités dans des IRM du cerveau d'un patient, des différentes classes de tissus (matière grise, matière blanche, liquide céphalo-rachidien) qui le composent. Cette technique est basée sur l'utilisation d'un algorithme espérance-maximisation dans lequel chacune des classes est modélisée par une loi normale multidimensionnelle dont la dimension est égale aux nombre de modalités utilisées pour la classification.

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• Loi de probabilité à plusieurs variables
• Algorithme espérance-maximisation: contenant le détail de l'application à la classification tissulaire

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