Méthode de Grad

On se limite à un milieu comportant une seule espèce.

La collision élastique

Schéma d'une interaction moléculaire élastique dans le système lié au barycentre.

Les vitesses avant interaction sont ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ et ${\displaystyle \mathbf {v} _{j}}$ dans un référentiel galiléen. Ces vitesses valent ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}'}$ et ${\displaystyle \mathbf {v} _{j}'}$ après interaction. On se place dans un système centré sur le barycentre qui a une vitesse constante du fait de la conservation de la quantité de mouvement. Dans ce système qui est donc galiléen la vitesse initiale de la particule ${\displaystyle j}$ est la vitesse relative  ${\displaystyle \mathbf {g} _{ij}=\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}}$. Par symétrie on peut affirmer que la trajectoire sera contenue dans le plan contenant l'origine et  ${\displaystyle \mathbf {g} _{ij}}$. On choisit un repère tel que  ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\frac {\mathbf {g} _{ij}}{||\mathbf {g} _{ij}||}}=[1,0,0]}$ (voir figure). Dans ce repère la déviation est  ${\displaystyle \theta _{ij}}$, fonction du paramètre d'impact ${\displaystyle b}$, de la vitesse relative ${\displaystyle g_{ij}}$ et du potentiel d'interaction que l'on suppose ne dépendant que de la distance en les deux particules en interaction. Si cette hypothèse est rigoureuse pour l'interaction entre deux atomes, on peut la considérer utilisable pour deux molécules : le potentiel est alors un potentiel moyen statistique.

La direction de sortie d'interaction est définie par  ${\displaystyle \mathbf {\Omega '} ={\frac {\mathbf {g'} _{ij}}{||\mathbf {g'} _{ij}||}}}$. On peut calculer les vitesses finales à partir des considérations suivantes :

• la conservation de la quantité de mouvement dans l'interaction implique

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}'+\mathbf {v} _{j}'=\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j}}$

• la vitesse relative ${\displaystyle \mathbf {g} _{ij}}$ a un module constant du fait de la conservation de l'énergie, donc ${\displaystyle g_{ij}'=g_{ij}}$ ou

${\displaystyle |\mathbf {v} _{i}'-\mathbf {v} _{j}'|=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|}$

Les vitesses après l'interaction sont donc

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}'(b,g)=\mathbf {v} _{i}-(\mathbf {g_{ij}} \cdot \mathbf {\Omega '} )\,\mathbf {\Omega '} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{j}'(b,g)=\mathbf {v} _{j}+(\mathbf {g_{ij}} \cdot \mathbf {\Omega '} )\,\mathbf {\Omega '} }$

De plus la conservation du moment cinétique au cours de l'interaction conduit à ${\displaystyle b'=b}$.

Le système décrivant la collision est réversible. Le théorème de Liouville permet donc d'écrire

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} _{i}'\,\mathrm {d} \mathbf {v} _{j}'=\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}\,\mathrm {d} \mathbf {v} _{j}}$

Les variables

L'équation de Boltzmann décrit au niveau microscopique l'évolution de particules. Au niveau macroscopique on définit les quantités suivantes, fonctions de x et t

- la densité particulaire	${\displaystyle n=\int _{\mathbf {v} }f\,\mathrm {d} \mathbf {v} }$
- la masse volumique	${\displaystyle \rho =n\,m}$
- la vitesse moyenne	${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {1}{n}}\int _{\mathbf {v} }\mathbf {v} f\mathrm {d} \mathbf {v} }$
- l'énergie interne	${\displaystyle e=\int _{\mathbf {v} }{\frac {1}{2}}mv^{2}f\mathrm {d} \mathbf {v} }$

Les flux

Le flux de la quantité ${\displaystyle \psi }$ est par définition la quantité ${\displaystyle \int _{\mathbf {v} }\psi f\,\mathrm {d} \mathbf {v} }$, fonction de x et t

En notant ${\displaystyle \otimes }$ le produit dyadique on définit les moments d'ordre 2 (tenseur de pression) et 3 (tenseur de flux d'énergie) ainsi que les restrictions habituelles : pression scalaire et flux de chaleur vectoriel

- tenseur de pression	${\displaystyle p_{ij}=\int _{\mathbf {v} }m\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} f\,d\mathbf {v} }$	qui représente le flux de quantité de mouvement.
- flux du tenseur de pression	${\displaystyle p_{ijk}=\int _{\mathbf {v} }m\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} f\mathrm {d} \mathbf {v} }$
- tenseur de flux d'énergie	${\displaystyle q_{ij}=\int _{\mathbf {v} }{\frac {1}{2}}mv^{2}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} f\mathrm {d} \mathbf {v} }$	flux du flux de chaleur

En particulier on peut extraire les quantités habituelles

- pression scalaire	${\displaystyle p={\frac {1}{3}}\int _{\mathbf {v} }mv^{2}fd\mathbf {v} }$	définie à partir de la trace du tenseur de pression.
- vecteur flux de chaleur	${\displaystyle q_{i}=\int _{\mathbf {v} }{\frac {1}{2}}mv^{2}\mathbf {v} f\mathrm {d} \mathbf {v} }$	contraction du tenseur de flux d'énergie.

On définit la température à partir de l'équation d'état  ${\displaystyle p=n\,k\,T}$

L'équation de Boltzmann est multipliée par ${\displaystyle m}$ puis par  ${\displaystyle 1,\mathbf {v} ,\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} ,\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} ...}$  et intégrée en vitesse. On obtient le système suivant en se restreignant aux quantités  ${\displaystyle \rho ,\mathbf {v} ,{\mathsf {P}},\mathbf {q} }$, soit 1 + 3 + 6 + 3 = 13 quantités indépendantes (« méthode des 13 moments »)[N 1]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{i})}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{i}v_{j}+p_{ij})}{\partial x_{j}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial p_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (p_{ijk}+p_{ij}v_{k})}{\partial x_{k}}}+p_{ki}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}+p_{kj}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}=P_{ij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial (q_{ij}+q_{i}v_{j})}{\partial x_{j}}}+p_{ijk}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}+q_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {p_{ki}}{\rho }}{\frac {\partial p_{kj}}{\partial x_{j}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {p_{rr}}{\rho }}{\frac {\partial p_{ij}}{\partial x_{j}}}=Q_{i}}$

où les quantités  ${\displaystyle P_{ij}}$  et  ${\displaystyle Q_{i}}$  correspondent au noyau de collision[N 2]

${\displaystyle P_{ij}=2\pi \int _{v_{i}}\int _{v_{j}}\int _{0}^{\infty }m\,(v'_{i}v'_{j}-v_{i}v_{j})f(v_{i})f(v_{j})\,g\,b\,\mathrm {d} b\,\mathrm {d} v_{i}\mathrm {d} v_{j}}$

${\displaystyle Q_{i}=2\pi \int _{v_{i}}\int _{v_{j}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}m\,(v'^{2}v'_{j}-v^{2}v_{j})f(v_{i})f(v_{j})\,g\,b\,\mathrm {d} b\,\mathrm {d} v_{i}\mathrm {d} v_{j}}$

Comme dans tout système aux moments, celui-ci n'est pas fermé : il n'existe pas d'équation pour p_ijk. Il faut donc « fermer » le système par une hypothèse ad hoc.

Dans cette méthode on cherche la fonction de distribution sous forme d'un développement en série de polynômes d'Hermite tensoriels en négligeant une partie des termes du second ordre  ${\displaystyle a_{ijk}H_{ijk}}$ .

${\displaystyle f=f^{(0)}\left(aH+a_{i}H_{i}+{\frac {1}{2}}a_{ij}H_{ij}+{\frac {1}{10}}a_{rri}H_{ssi}\right)}$

où f⁽⁰⁾ est la distribution maxwellienne

${\displaystyle f^{(0)}=n\left({\frac {m}{kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\omega (\xi )\,,\qquad \omega (\xi )={\frac {e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

cette expression étant applicable à toutes les composantes

${\displaystyle \xi _{i}={\sqrt {\frac {m}{kT}}}v_{i}}$

Les polynômes d'Hermite sont définis par

${\displaystyle H_{i_{1}i_{2}...i_{N}}={\frac {(-1)^{N}}{\omega }}{\frac {\partial ^{N}\omega }{\partial \xi _{1}\partial \xi _{2}...\partial \xi _{N}}}}$

Ils sont orthogonaux avec le poids ω

${\displaystyle \int \omega H_{i_{1}i_{2}...i_{N}}H_{j_{1}j_{2}...j_{M}}=\delta _{NM}(\delta _{i_{1}j_{1}}\delta _{i_{2}j_{2}}...\delta _{i_{N}j_{N}}+...)}$

le terme au second membre comportant toutes les permutations possibles sur j.

Les premiers polynômes sont

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}H(\xi )&=&1\\[0.6em]H_{i}(\xi )&=&\xi _{i}\\[0.6em]H_{ij}(\xi )&=&\xi _{i}\xi _{j}-\delta _{ij}\\[0.6em]H_{ijk}(\xi )&=&\xi _{i}\xi _{j}\xi _{k}-(\xi _{i}\delta _{jk}+\xi _{j}\delta _{ik}+\xi _{k}\delta _{ij})\end{array}}}$

En reportant le développement dans les équations du système on obtient[3]

${\displaystyle a_{1}=1\,,\qquad a_{i}=0\,,\qquad a_{rr}=0\,,\qquad a_{ij}={\frac {p_{ij}}{p}}\,,\qquad a_{rri}={\frac {2q_{i}}{p}}{\sqrt {\frac {m}{kT}}}}$

On définit  ${\displaystyle p'_{ij}=p_{ij}-{\frac {1}{3}}p_{rr}\delta _{ij}}$  qui est le déviateur du tenseur de pression (tenseur de cisaillement).

La fonction de distribution de Grad est

${\displaystyle f=f^{(0)}\left\{1+{\frac {2\beta ^{2}}{\rho }}\left[p'_{ij}v_{i}v_{j}+{\frac {4}{5}}q_{i}v_{i}\left(\beta v^{2}-{\frac {5}{2}}\right)\right]\right\}\,,\qquad \beta ={\frac {m}{2kT}}}$

On peut alors calculer les moments d'ordre élevé (fermeture du système) à partir des relations de définition

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p_{ijk}&=&{\frac {2}{5}}\left(q_{i}\delta _{jk}+q_{j}\delta _{ik}+q_{k}\delta _{ij}\right)\\[0.6em]q_{ij}&=&{\frac {5p^{2}}{2\rho }}\delta _{ij}+{\frac {7p}{2\rho }}p'_{ij}\end{array}}}$

À partir de cette solution on peut calculer les coefficients de transport : viscosité dynamique et conductivité à partir des intégrales de collision. Ces coefficients sont les mêmes que ceux issus de la méthode de Chapman-Enskog[3].