Conductivité thermique

Quand le matériau considéré est homogène et isotrope, la loi de Fourier s'écrit[1] :

${\displaystyle {\vec {\varphi }}=-\lambda \,{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,T}$

où :

${\displaystyle {\vec {\varphi }}\,}$ désigne la densité de flux thermique (W/m²),

λ la conductivité thermique (W m⁻¹ K⁻¹),

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,}$ l'opérateur gradient,

T la température (K).

Un matériau a par exemple une conductivité thermique de 1 W m⁻¹ K⁻¹ si un gradient thermique de 1 K/m induit par conduction un flux thermique de 1 W/m² (de sens opposé au gradient).

Lorsque le matériau est anisotrope, sa conductivité thermique varie selon les directions. Le λ mentionné dans la loi de Fourier peut alors s'exprimer par un tenseur de conductivité[2] :

λ = ${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}\\\lambda _{3,1}&\lambda _{3,2}&\lambda _{3,3}\end{Vmatrix}}}$

Avec les remarques suivantes :

• ${\displaystyle \lambda _{i,j}}$ > 0
• ${\displaystyle \lambda _{i,j}}$ = ${\displaystyle \lambda _{j,i}}$
• ${\displaystyle \lambda _{i,i}\lambda _{j,j}-\lambda _{i,j}^{2}>0}$

Or, en définissant les axes de coordonnées selon des directions particulières, de simplifier le tenseur de conductivité en annulant tous les coefficients de la matrice qui ne sont pas des coefficients diagonaux. Le λ de la loi de Fourier s'exprime alors de la manière suivante[2] :

λ = ${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\lambda _{1,1}&0&0\\0&\lambda _{2,2}&0\\0&0&\lambda _{3,3}\end{Vmatrix}}}$

Plus la conductivité thermique est élevée, plus le matériau est conducteur de chaleur ; plus elle est faible, plus il est isolant. Le cuivre, avec une conductivité thermique de 380 W m⁻¹ K⁻¹, est ainsi plus de 10 000 fois plus conducteur de la chaleur que le polyuréthane (0,023 W m⁻¹ K⁻¹)[3].

La conductivité dépend principalement de :

• la nature du matériau ;
• la température ;
• d’autres paramètres comme l’humidité et la pression.

La conductivité thermique va généralement de pair avec la conductivité électrique. Les métaux par exemple, bons conducteurs de l'électricité, sont aussi de bons conducteurs thermiques. Il y a des exceptions, comme le diamant qui a une conductivité thermique élevée (entre 1 000 et 2 600 W m⁻¹ K⁻¹) alors que sa conductivité électrique est basse, tandis que le graphène (5 300 W m⁻¹ K⁻¹) est meilleur conducteur thermique et bien meilleur conducteur électrique (du moins dans certaines directions, car c'est un matériau fortement anisotrope).

À l'échelle atomique, le transfert de chaleur dans les solides peut être réalisé par le biais de toute particule ou quasi-particule. La conductivité thermique correspond à la somme des contributions de chaque particule ou quasi-particule. Dans les solides, le transfert de chaleur est principalement dû aux phonons, aux électrons et aux magnons. Les magnons peuvent représenter une part importante de la conductivité thermique chez certains matériaux comme pour le cas des cuprates. Toutefois, des contributions d'autres particules restent possibles[4].

Dans les métaux, le mouvement des électrons libres est prépondérant alors que dans le cas des non-métaux, la vibration des ions est la plus importante[5]. La conductivité thermique est donc liée d’une part à la conductivité électrique (mouvement des porteurs de charge) et d'autre part à la structure même du matériau (vibrations des atomes autour de leur position d'équilibre). En effet, dans un solide, les vibrations des atomes ne sont pas aléatoires et indépendantes les unes des autres, mais correspondent à des modes propres de vibration, aussi appelés « phonons » (on peut faire par exemple l’analogie avec un pendule ou une corde de guitare, dont la fréquence de vibration est fixée. Ces modes propres de vibration correspondent à des ondes qui peuvent se propager dans le matériau, si sa structure est périodique (organisée). Cette contribution sera donc plus importante dans un cristal, ordonné, que dans un verre, désordonné (d’où par exemple la différence de conductivité thermique entre le diamant ci-dessus et le verre dans le tableau)[5].

Mathématiquement, la conductivité thermique λ peut donc s'écrire comme la somme de deux contributions[5] :

${\displaystyle \lambda =\lambda _{\text{e}}+\lambda _{\text{p}}}$

où :

• λ_e est la contribution des porteurs de charge (électrons ou trous) ;
• λ_p est la contribution des vibrations des atomes (phonons).

La contribution des porteurs de charge est liée à la conductivité électrique σ du matériau par la relation de Wiedemann-Franz[6] :

${\displaystyle \lambda _{e}=LT\sigma }$

où L est appelé facteur de Lorentz[6]. Ce nombre L dépend des processus de diffusion des porteurs de charge (ce qui correspond plus ou moins à la façon dont ils sont gênés par des obstacles lors de leurs déplacements, voir aussi diffusion des ondes) ainsi que de la position du niveau de Fermi. Dans les métaux, on le considérera égal au nombre de Lorenz L₀, avec :

${\displaystyle L_{0}={\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k}{e}}\right)^{2}=2{,}45\times 10^{-8}\;\mathrm {V} ^{2}\mathrm {K} ^{-2}}$

où :

• k est la constante de Boltzmann ;
• e est la charge de l'électron.

En réalité, L varie selon la température et le métal considéré :

Pour les matériaux de construction, qui peuvent être sujets à d'importants taux d'humidité, il existe une relation permettant de relier les conductivités du matériau sec et du matériau humide lorsque des mesures ne peuvent être réalisées. Cette relation est la suivante[8] :

${\displaystyle \lambda =k\cdot \lambda _{0}\mathrm {e} ^{0{,}08\,H}}$

où :

• k est un coefficient de dimensions ;
• H est l’humidité relative en pourcentage ;
• λ₀ est la conductivité thermique du matériau sec ; λ la conductivité thermique du matériau en condition d'humidité H
• e représente la fonction exponentielle.

Ordres de grandeur des conductivités thermiques de quelques matériaux :

Dérivés du carbone

Si le diamant a une conductivité thermique très élevée, celle du diamant bleu naturel l’est plus encore. On peut donc examiner des gemmes pour déterminer si elles sont de véritables diamants en utilisant un appareil de contrôle de la conductivité thermique, un des instruments standard utilisés en gemmologie^{[réf. nécessaire]}.

En conséquence, les diamants de n'importe quelle taille paraissent toujours très froids au toucher en raison de leur effusivité thermique élevée.

Matériaux	Conductivité thermique (W m−1 K−1) à 20 °C
Carbone vitreux (1,5 g/cm3)	4[19]
Charbon de bois (0,2 g/cm3)	0,055[15]
Diamant	1 000-2 600
Graphène	4 000-5 300
Graphite sens ${\displaystyle \parallel }$ plans graphène	1 950[20]
Graphite sens ${\displaystyle \perp }$ plans graphène	5,7[20]
Graphite polycristallin	80[21]
Houille (1,35 g/cm3)	0,26[15]

Conductivité thermique des éléments en W cm⁻¹ K⁻¹ à 27 °C[22]. Certaines valeurs manquantes sont disponibles sur l'article "Conductivité thermique des solides" sur le site techniques-ingenieur.fr[2].