Modèle mathématique

Un modèle se rapporte toujours à ce qu’on espère en déduire. Un même objet, par exemple une souris, ne sera pas modélisé de la même façon selon que l'on s'intéresse à

• ses performances intellectuelles ;
• ses maladies et leurs soins, voire ceux d'un groupe d'animaux apparentés mais plus large (tous les mammifères dont l'Homme) ;
• la façon de la dessiner de manière convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo.

De même, un modèle n'est jamais parfait, ni totalement représentatif de la réalité : le choix des paramètres et des relations qui les lient éclaire la finalité. Au sein d’un même modèle, le choix des valeurs des paramètres peut permettre d’appréhender divers aspects, ou encore des réalités différentes.

Même lorsque le but est fixé, il y a souvent plusieurs modèles possibles dont chacun présente des avantages spécifiques.

« Dans toute modélisation, il y a un choix a priori de l’environnement mathématique servant à décrire l’ensemble des phénomènes. La formulation s'identifie rarement aux manifestations physiques réelles. »

Ainsi en physique, il est commode d'utiliser un espace tridimensionnel euclidien, ou un espace « courbe », ou un espace à 4, 5, 11 ou 26 dimensions, ou un espace de Hilbert, etc. Bien qu'il soit généralement possible de montrer une grande proximité de ces différentes représentations, elles s'avèrent toutefois plus ou moins bien adaptées à la situation considérée. Ces formulations théoriques restent des modèles utiles pour appréhender la réalité, mais ils s'en distinguent. Par exemple, lorsqu'un physicien déclare que « l'univers est en expansion », il faut bien comprendre qu'il affirme implicitement que « par rapport à mon cadre mathématique, tout se passe comme si… ». Un autre physicien peut affirmer que « l'univers n'est pas en expansion » : ils peuvent être parfaitement d'accord si les formulations mathématiques sont distinctes.

La même remarque s'applique à d'autres domaines, en particulier aux modèles économiques et comptables dont les résultats et les décisions qui en découlent ont des conséquences économiques et fiscales importantes : l'archétype de la modélisation économique étant le cadastre fiscal et les bases de la taxation immobilière, dont tout le monde sait bien qu'elles sont « fausses », c’est-à-dire qu'elle ne reflètent qu'imparfaitement la valeur réelle qui est censée servir de référence.

Tout ceci sans ignorer la réalité : bien qu'un modèle de génie civil pour la construction d'un pont garantisse la robustesse de l'ouvrage, il n'est pas exclu qu'il finisse par s'écrouler (par contre, si le modèle indique que telle variante est trop faible, il serait insensé de la réaliser).

La modélisation peut s'exercer

• du modèle vers le réel : ce sont les modèles prédictifs

Ces modèles mathématiques sont utilisés pour anticiper des événements ou des situations, comme prévoir le temps avec la météo, estimer les prix potentiels des actifs financiers avec les modèles d'évaluation en finance, ou prévenir les épidémies. On parle de modèles prédictifs, dans lesquels des variables connues, dites « explicatives », vont être utilisées pour déterminer des variables inconnues, dites « à expliquer ».

• du réel vers le modèle : ce sont les modèles descriptifs

Dans ce cas, les modèles servent à représenter des données historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations. L'archétype de ces modèles est la comptabilité : elle décrit de manière simplifiée les événements économiques réels en leur affectant un compte, c'est-à-dire une « étiquette » censée les caractériser. Ces comptes sont ensuite agrégés pour présenter de manière standard la situation économique des entreprises et des pays.

Les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c’est-à-dire une bonne description. Inversement, une bonne description serait parfaitement vaine si elle ne servait pas au moins de diagnostic, ou de carte, pour identifier la conduite à tenir.

Un même modèle mathématique peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport évident. Par exemple, des générateurs de paysages sont capables de créer des formes réalistes d'objets aussi différents que des montagnes, des arbres, des rochers, de l'herbe, des coquillages ou des flocons de neige, avec un seul modèle général, alors même que les processus de croissance et de constructions de ses objets sont très divers. Si, au lieu de créer un nouveau modèle, on est capable de rapprocher un problème d'un ancien modèle connu, on obtient immédiatement une masse de données très utile. Une grande partie du travail est donc de reconnaître qu'un modèle connu s'applique, ou à étendre les propriétés connues d'une classe particulièrement utile de modèle (propriété qu'on pourra ensuite utiliser plus largement).

Georges Matheron[1] distingue :

• le modèle scientifique panscopique, c'est-à-dire qu'il propose une efficacité opératoire pour tous les objectifs envisageables. Tout énoncé objectif doit y être réfutable.
• le modèle technique polyscopique voire monoscopique, en ce que son efficacité opératoire se résume à un seul objectif.

Georges Matheron définit plusieurs niveaux de description d'un modèle :

1. modèle primaire : grandeur (quantification) utilisée pour décrire la réalité.
2. modèle constitutif : décision de l'approche méthodologique qui sera mise en œuvre (par exemple : déterministe, probabiliste, …). Ce choix n'est pas réfutable.
3. modèle générique : des choix méthodologiques (stationnarité, régularité, …) permettent de proposer une classe de représentations du phénomène.
4. type : des hypothèses objectives permettent de choisir une famille paramétrée de représentations.
5. caractérisation du modèle : la détermination des paramètres (inférence statistique) fournit un modèle spécifique, ou spécification du modèle générique.

Un modèle panscopique recherchera un degré de spécification fort (possédant un grand nombre de critères de spécifications) ; à l'inverse, un modèle monoscopique cherchera les hypothèses anticipatrices les plus faibles, et donc un faible degré de spécification.

Les modèles sont opératoires seulement sur certains domaines. On parlera de seuil de robustesse (des données, spécifique, de type) et de réalisme pour qualifier les limites à l'intérieur desquelles le modèle est en adéquation raisonnable avec la réalité, ou encore de seuil d'objectivité lorsque le modèle ne peut plus fournir d'énoncé pertinent.

• Modèle
• Modèle (informatique)
• Mise en équation
• Modèle mathématique (objet)
• Prévision policière

• modélisation pour l'agriculture. Site du Réseau Modélisation et Logiciels d’intérêt commun appliqués à l’Agriculture. Ce réseau a pour vocation à organiser les échanges autour de la modélisation pour l'agriculture entre la recherche publique (notamment l'INRA), les instituts et centres techniques agricoles (ACTA) et l'enseignement.
• « Modèles qui n’existent pas toujours » en mathématiques financières, Cahiers de Recherche