Modulation de largeur d'impulsion

Premièrement, l'idée est d'ajouter un signal périodique de fréquence triple par rapport à la fréquence fondamentale ${\displaystyle f_{1}}$ (soit ${\displaystyle 3f_{1}}$). Ainsi, on peut écrire la modulante ${\displaystyle V_{mod}}$ comme étant la somme du signal de référence pondéré (${\displaystyle \sin(2\pi f_{1}t)}$) et du signal d'harmonique de rang 3 d'amplitude ${\displaystyle a}$. Ainsi, la modulante normalisée (en posant ${\displaystyle 2\pi f_{1}t=\theta }$) s'écrit:

${\displaystyle V_{mod}=\sin(\theta )+a\sin(3\theta )}$

Afin de trouver les extremas de cette fonction il est nécessaire de la dériver et de chercher les points pour lesquelles la modulante s'annule:

${\displaystyle {\frac {dV_{mod}}{d\theta }}=\cos(\theta )+3a\cos(3\theta )=0}$

Ce qui nous donne:

${\displaystyle 0=\cos(\theta )+3a\cos(3\theta )}$

${\displaystyle =\cos(\theta )\left(1+3a\left(2\cos(2\theta )-1\right)\right)}$

${\displaystyle =\cos(\theta )\left(1+3a\left(2\cos(\theta )^{2}-2\sin(\theta )^{2}-1\right)\right)}$

${\displaystyle =\cos(\theta )\left(1+3a\left(2\cos(\theta )^{2}-2\left[1-\cos(\theta )^{2}\right]-1\right)\right)}$

${\displaystyle =\cos(\theta )\left(12a\cos(\theta )^{2}-9a+1\right)}$

Ainsi les extremas sont atteints lorsque:

${\displaystyle \cos(\theta )=0}$ (et donc de manière équivalente ${\displaystyle \sin(\theta )=1}$)

ou

${\displaystyle \cos(\theta )=\pm {\sqrt {\frac {9a-1}{12a}}}}$

Ainsi, dans ce deuxième cas ${\displaystyle \sin(\theta )}$ est égal à:

${\displaystyle \sin(\theta )=\pm {\sqrt {1-\cos(\theta )^{2}}}}$

${\displaystyle =\pm {\sqrt {1-{\frac {9a-1}{12a}}}}}$

${\displaystyle =\pm {\sqrt {\frac {3a+1}{12a}}}}$

Or, en remarquant que ${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin(\theta )-4\sin(\theta )^{3}}$, on obtient pour la modulante l'équation suivante:

${\displaystyle V_{mod}=(1+3a)\sin(\theta )-4\sin(\theta )^{3}}$

Dans la suite, on peut calculer l'amplitude de la modulante ${\displaystyle V_{mod}}$ (notée${\displaystyle {\widehat {V}}_{mod}}$).

Alors, en fonction de la solution considérée, ${\displaystyle {\widehat {V}}_{mod}}$ peut prendre les valeurs suivantes:

${\displaystyle {\widehat {V}}_{mod}=1-a}$

Ou

${\displaystyle {\widehat {V}}_{mod}=\pm 2{\sqrt {\frac {3a+1}{12a}}}\left(a+{\frac {1}{3}}\right)}$

Les valeurs optimales de ${\displaystyle a}$ sont alors obtenues en cherchant à minimiser l'amplitude la modulante et donc ${\displaystyle {\widehat {V}}_{mod}}$. En effet cette minimisation permet d'aller chercher l'indice de modulation maximal. Pour calculer cette minimisation on fait encore une fois appel aux dérivées:

${\displaystyle {\frac {d{\widehat {V}}_{mod}}{da}}=\pm {\frac {1}{a{\sqrt {a}}}}{\sqrt {a+{\frac {1}{3}}}}\left(a-{\frac {1}{6}}\right)}$

Ainsi, il n'y a que trois valeurs possibles pour l'amplitude de la modulante, (-1;-1/3 et 1/6). Il faut choisir celui qui minimise l'amplitude de la modulante et donc 1/6.

Ce dernier résultat démontrant que la valeur de ${\displaystyle a={\frac {1}{6}}}$ est optimale pour l'extension de la zone de linéarité via l'injection d'un seul harmonique de rang 3. Enfin, pour démontrer l'extension de 15% il suffit de prendre la valeur précédente de 1/6, et de calculer pour quelle valeur de ${\displaystyle m={\frac {V_{1}}{E_{DC}}}}$ la modulante atteint de nouveau 0.5. Le maximum étant atteint pour un multiple entier relatif de ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$ on se retrouve avec :

${\displaystyle m_{max}\left(\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)+{\frac {1}{6}}\sin \left(3{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {1}{2}}}$

Ce qui donne:

${\displaystyle m_{max}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

Ainsi le nouvel indice de modulation maximal atteignable avant saturation est ${\displaystyle m_{max}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ce qui correspond en effet à une augmentation d'environ 15% par rapport à l'indice de modulation précédent (${\displaystyle m={\frac {1}{2}}}$).