Nombre cyclique

Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142 857 est le seul nombre cyclique décimal. Mais s'ils sont permis, la suite des nombres cycliques commence comme suit :

Pour être cyclique, seuls les multiples successifs du nombre doivent être considérés et ceux-ci doivent correspondre à des permutations circulaires du nombre. Ainsi, le nombre 076923 n'est pas considéré comme cyclique, même si toutes ses permutations circulaires sont des multiples, car ceux-ci ne sont pas successifs :

076923 × 1 = 076923

076923 × 3 = 230769

076923 × 4 = 307692

076923 × 9 = 692307

076923 × 10 = 769230

076923 × 12 = 923076

Cette restriction exclut aussi des cas triviaux tels :

• chiffres répétés, par exemple : 555 ;
• nombres cycliques répétés, par exemple : 142 857 142 857 ;
• chiffres uniques précédés de zéros, par exemple : 005.

Les chiffres uniques peuvent être considérés comme des nombres cycliques triviaux ou dégénérés.

Les nombres cycliques sont liés aux développements décimaux périodiques des fractions unitaires. Tout nombre cyclique de longueur L est le développement décimal de[1]

1/(L + 1).

Réciproquement, si la période du développement décimal de 1/p (où p est un nombre premier) est

p − 1,

alors les chiffres représentent un nombre cyclique[1].

Par exemple :

1/7 = 0,142857142857…

Les multiples de ces fractions présentent des permutations circulaires[1]:

1/7 = 0,142857142857…

2/7 = 0,285714285714…

3/7 = 0,428571428571…

4/7 = 0,571428571428…

5/7 = 0,714285714285…

6/7 = 0,857142857142…

En s'appuyant sur leur relation aux fractions unitaires, on démontre que les nombres cycliques sont de la forme[1]

${\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

où b est la base (10 dans le cas du système décimal) et p est un nombre premier ne divisant pas b. Les nombres premiers p qui génèrent des nombres cycliques sont appelés nombres premiers longs.

Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.

Toutes les valeurs de p ne généreront pas forcément un nombre cyclique selon cette formule; par exemple p = 13 donne 076923076923. Ces cas erronés contiendront toujours une ou plusieurs répétitions de chiffres.

Les vingt premières valeurs de p pour lesquelles cette formule produit un nombre cyclique en notation décimale sont (suite A001913 de l'OEIS) :

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229 et 233.

Cette suite intervient en théorie algébrique des nombres : elle est constituée des nombres premiers p tels que 10 est une racine primitive modulo p. Une conjecture d'Emil Artin postule que cette suite contiendrait 37,395..% des nombres premiers.

Les nombres cycliques peuvent être construits par l'algorithme suivant :

Soit b la base (10 en base décimale).

Soit p un nombre premier ne divisant pas b.

Soit t = 0.

Soit r = 1.

Soit n = 0.

Répéter ce qui suit :

Soit t = t + 1

Soit x = r · b

Soit d = int(x / p)

Soit r = x mod p

Soit n = n · b + d

Si r ≠ 1, répéter.

Si t = p − 1 alors n est un nombre cyclique.

Cette procédure fonctionne en calculant les décimales de 1/p en base b, par division longue. r est le reste à chaque étape et d est la décimale produite.

L'étape

n = n · b + d

sert uniquement à colliger les chiffres. Dans les langages incapables d'opérer sur des nombres entiers très grands, les chiffres doivent être exprimés ou conservés autrement.

Il est notable que si t excède p/2, le nombre est forcément cyclique, sans besoin de calculer les chiffres restants.

• Le produit d'un nombre cyclique avec le nombre premier ayant servi à le générer consiste en une suite de chiffres 9. Par exemple, 142 857 × 7 = 999 999.
• L'addition de l'entier correspondant à la première moitié des chiffres d'un nombre cyclique à l'entier correspondant à la seconde moitié de ceux-ci consiste en une suite de chiffres 9 : 142 + 857 = 999.
• Un nombre cyclique est un nombre parasite.
• Un nombre cyclique tronqué après ses n premiers chiffres (non tous nuls) est une approximation par défaut de la fraction 10ⁿ/p. Si r est le reste entier de cette division, alors le nombre cyclique peut être produit en commençant par ses n premiers chiffres, puis en additionnant le r × le nombre précédemment additionné et décalé de n rangs vers la droite :

Exemple : pour p=7, le nombre cyclique est 142857142857...

• avec n=1 : 10 = 7 × 1 + 3 (1 = premier chiffre du nombre cyclique, reste r = 3)
• avec n=2 : 100 = 7 × 14 + 2 (14 = 2 premiers chiffres du nombre cyclique, reste r = 2)
• avec n=3 : 1000 = 7 × 142 + 6 (142 = 3 premiers chiffres du nombre cyclique, reste r = 6), etc.

et on peut écrire :

 n=1                   n=2                          n=3  
 1    x3               14          x2               142                x6 
  3    |                 28         |                  852              |
   9   v                   56       v                    5112           v
   27                       112                            30672
    81                        224                            184032
    243                         448                            1104192
 +   729               +          896               +             6625152
---------             ----------------             -----------------------         
 1428...               14285714285...               1428571428571428...

En utilisant la technique décrite plus haut, on peut trouver les nombres cycliques d'autres bases arithmétiques.

En base binaire (suite A001122 de l'OEIS) :

En base ternaire (suite A019334 de l'OEIS) :

En base octale (suite A019338 de l'OEIS) :

En base duodécimale (suite A019340 de l'OEIS) :

En base 24 (notation en utilisant les lettres de A à N) (suite A019351 de l'OEIS) :

Noter qu'en notation ternaire (b = 3), le cas p = 2 génère 1 comme nombre cyclique. Bien que les chiffres uniques puissent être considérés comme des cas triviaux, il peut être utile, pour la complétude de la théorie, de les considérer, mais uniquement lorsqu'ils sont générés de cette façon.

On peut démontrer qu'aucun nombre cyclique (autre que les chiffres uniques triviaux) d'aucune base arithmétique n'est un carré parfait ; ainsi il n'y a aucun nombre cyclique en base hexadécimale.