Racine primitive modulo n

Si n est un entier strictement positif, les nombres premiers avec n, pris modulo n, forment un groupe pour la multiplication, noté (Z/nZ)^× ou Z_n^×. Ce groupe est cyclique si et seulement si n est égal à 4 ou p^k ou 2p^k pour un nombre premier p ≥ 3 et k ≥ 0[2]. Un générateur de ce groupe cyclique est appelé une racine primitive modulo n, ou un élément primitif[3] de Z_n^×. Une racine primitive modulo n est donc un entier g tel que tout inversible dans Z/nZ est une puissance de g modulo n.

Prenons par exemple n = 14. Les éléments de (Z/14Z)^× sont les classes de congruence 1, 3, 5, 9, 11 et 13. Donc 3 est une racine primitive modulo 14, et l'on a 3² ≡ 9, 3³ ≡ 13, 3⁴ ≡ 11, 3⁵ ≡ 5 et 3⁶ ≡ 1 (modulo 14). La seule autre racine primitive modulo 14 est 5.

Voici une table contenant les plus petites racines primitives pour quelques valeurs de n (suite A046145 de l'OEIS) :

Voici une table donnant les plus petites racines primitives r modulo les nombres premiers p inférieurs à 1 000 (suite A001918 de l'OEIS)[4] :

On ne connait aucune formule générale simple pour calculer les racines primitives modulo n. Il existe cependant une méthode pour tester si un entier m est racine primitive mod n — c'est-à-dire si son ordre multiplicatif modulo n est égal à φ(n) (l'ordre de Z_n^×) — qui est plus rapide qu'un simple calcul mod n de toutes ses puissances successives jusqu'à l'exposant φ(n) :

On a au préalable calculé φ(n) et déterminé ses diviseurs premiers, soit p₁,...,p_k. On vérifie qu'aucun ne divise m. Ensuite, on calcule ${\displaystyle m^{\varphi (n)/p_{i}}\mod n\qquad {\mbox{ pour }}i=1,\ldots ,k}$ en utilisant par exemple la méthode d'exponentiation rapide. L'entier m est une racine primitive si et seulement si ces k résultats sont tous différents de 1.

• Les racines primitives mod n sont les racines dans ℤ/nℤ du φ(n)-ième polynôme cyclotomique Φ_φ(n).

• Pour tout nombre premier p, le n-ième polynôme cyclotomique Φ_n est irréductible sur le corps fini Z_p si et seulement si p est une racine primitive modulo n. Par conséquent, les entiers n modulo lesquels il n'existe pas de racine primitive (suite A033949 de l'OEIS) sont ceux tels que Φ_n est réductible sur tous les Z_p. Ce sont également les entiers modulo lesquels 1 a d'autres racines carrées que 1 et –1.

• Le nombre de racines primitives modulo n (suite A046144 de l'OEIS), lorsqu'il en existe (suite  A033948), est égal à φ(φ(n)), puisque tout groupe cyclique d'ordre r possède φ(r) générateurs.

Supposons que p soit un nombre premier impair.

• Si θ est une racine primitive modulo p, alors θ est une racine primitive modulo n'importe quelle puissance p^k de p, sauf si θ^p−1 ≡ 1 (mod p²); Dans ce cas, θ + p possède cette propriété[5].

• Si θ est une racine primitive modulo p^k, alors θ est une racine primitive modulo toute puissance inférieure de p.

• Si θ est une racine primitive modulo p^k, alors θ ou θ + p^k (celui des deux qui est impair) est une racine primitive modulo 2p^k[6]

Pour tout nombre premier p, notons g_p la plus petite racine primitive modulo p (entre 1 et p – 1). On a les deux résultats suivants :

• pour tout ε > 0, il existe[7] une constante C telle que pour tout p, g_p < C p^1/4+ε ;
• si l'hypothèse généralisée de Riemann est vraie, alors[8] g_p = O(log⁶ p).

On conjecture que tout entier relatif différent de –1 et non carré est racine primitive modulo une infinité de nombres premiers (voir « Conjecture d'Artin sur les racines primitives »).