Arithmétique

Allégorie de l'arithmétique.

L'étymologie du mot arithmétique est basée sur le grec ancien ἀριθμός (arithmos), qui signifie nombre[2].

L’origine de l'arithmétique semble être une invention phénicienne[3]. Dans l'école pythagoricienne, à la deuxième moitié du VI^e siècle av. J.-C., l'arithmétique était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (V^e siècle) et plus précisément désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires (grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet des travaux de Cassiodore et, plus tard, Alcuin qui leur donna le nom de trivium.

La totalité des nombres a été subdivisée en divers ensembles. Les plus connus sont :

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ : l'ensemble des entiers naturels (${\displaystyle 0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;{\mbox{ etc.}}}$).
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ : l'ensemble des entiers relatifs (${\displaystyle -12;\,-2;\,0;\,5;\,6;{\mbox{ etc.}}}$).
• ${\displaystyle \mathbb {D} }$ : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme d'un quotient d'un nombre entier relatif et d'une puissance positive de 10, c'est-à-dire, ${\displaystyle {\frac {x}{10^{n}}}}$ où x est un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel (${\displaystyle {\tfrac {-5}{10}},\,0,\,{\tfrac {13}{100}},\,{\tfrac {10}{10}}}$, etc.).
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ : l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme un quotient (résultat d'une division) de deux nombres entiers relatifs. En posant la division, il peut y avoir une infinité de chiffres après la virgule dans le résultat, mais ces chiffres finiront par se répéter ; dans ce cas on dit que l'écriture décimale est illimitée périodique ${\displaystyle \left({1 \over 3};\,-{5 \over 13};{22 \over 7}{\mbox{ etc.}}\right)}$.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : l'ensemble des nombres réels, mesurant toutes les distances entre deux points d'une droite, pouvant se voir comme limites de nombres rationnels, et pouvant s'écrire avec des chiffres après la virgule mais les chiffres ne se répètent plus nécessairement (${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, etc.).
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ : nombres complexes de la forme ${\displaystyle x+iy}$ où x et y sont réels et ${\displaystyle i}$ imaginaire tel que ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; tous les éléments de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ appartiennent aussi à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, par exemple. Mais à l'inverse, un élément de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ n'est pas forcément élément de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques : le plus petit est ${\displaystyle \mathbb {N} }$, puis viennent ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {D} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on note ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ l'ensemble des nombres positifs de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. De même on note ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ privé de 0. On remarque entre autres que ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}=\mathbb {N} }$ et que ${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} =\mathbb {Z} _{-}^{*}}$ (il s'agit de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ « privé de » ${\displaystyle \mathbb {N} }$).

De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet de la théorie des nombres. Parmi ces nombres particuliers, les nombres premiers sont sans doute les plus importants.