Opérations sur les limites

On peut multiplier une suite ${\displaystyle u=(u_{n})}$ ou une fonction ${\displaystyle f}$ par un réel fixé ${\displaystyle k}$ ; on obtient alors :

• la suite ${\displaystyle ku=((ku)_{n})}$ définie par : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(ku)_{n}=k\times u_{n}}$ ;
• la fonction ${\displaystyle kf}$ définie par : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(kf)(x)=k\times f(x)}$.

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie ${\displaystyle \ell }$ ou diverge vers ${\displaystyle \pm \infty }$ :

${\displaystyle \lim u_{n}}$		${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
${\displaystyle \lim(ku)_{n}}$	${\displaystyle k>0}$	${\displaystyle k\ell }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
	${\displaystyle k<0}$	${\displaystyle k\ell }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction ${\displaystyle f}$. Nous ne mentionnerons pas le point ${\displaystyle a}$, réel ou ${\displaystyle \pm \infty }$, en lequel on considère la limite de ${\displaystyle f}$, que nous noterons donc simplement ${\displaystyle \lim f}$. La limite de ${\displaystyle kf}$ est :

${\displaystyle \lim f}$		${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
${\displaystyle \lim kf}$	${\displaystyle k>0}$	${\displaystyle k\ell }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
	${\displaystyle k<0}$	${\displaystyle k\ell }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$

On peut additionner deux suites ${\displaystyle u=(u_{n})}$ et ${\displaystyle v=(v_{n})}$ ou deux fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ :

• la suite ${\displaystyle u+v}$ est définie par : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}}$ ;
• la fonction ${\displaystyle f+g}$ est définie par : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(f+g)(x)=f(x)+g(x)}$.

On peut donner la limite de la suite ${\displaystyle u+v}$ en fonction des limites respectives des suites ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ (resp. la limite de la fonction ${\displaystyle f+g}$ en un point ${\displaystyle a}$, en fonction des limites en ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		${\displaystyle \lim v}$ (resp. ${\displaystyle \lim g}$)
		${\displaystyle \ell '}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
${\displaystyle \lim u}$ (resp. ${\displaystyle \lim f}$)	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell +\ell '}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	FI
	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	FI	${\displaystyle +\infty }$

On peut multiplier deux suites ${\displaystyle u=(u_{n})}$ et ${\displaystyle v=(v_{n})}$ ou deux fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ :

• la suite ${\displaystyle u\times v}$ est définie par : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(u\times v)_{n}=u_{n}\times v_{n}}$ ;
• la fonction ${\displaystyle f\times g}$ est définie par : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)}$.

On peut donner la limite de la suite ${\displaystyle u\times v}$ en fonction des limites respectives des suites ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ (resp. la limite de la fonction ${\displaystyle f\times g}$ en un point ${\displaystyle a}$ en fonction des limites en ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		${\displaystyle \lim v}$ (resp. ${\displaystyle \lim g}$)
		${\displaystyle \ell '<0}$	${\displaystyle \ell '>0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
${\displaystyle \lim u}$ (resp. ${\displaystyle \lim f}$)	${\displaystyle \ell <0}$	${\displaystyle \ell \ell '}$	${\displaystyle \ell \ell '}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$
	${\displaystyle \ell >0}$	${\displaystyle \ell \ell '}$	${\displaystyle \ell \ell '}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	FI	FI
	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	FI	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$
	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	FI	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$

On peut diviser une suite ${\displaystyle u=(u_{n})}$ par une suite ${\displaystyle v=(v_{n})}$ vérifiant ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}\neq 0}$ ou une fonction ${\displaystyle f}$ par une fonction ${\displaystyle g}$ vérifiant ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ pour tout ${\displaystyle x}$ au voisinage du point considéré :

• la suite ${\displaystyle {\frac {u}{v}}}$ est définie par : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \left({\frac {u}{v}}\right)_{n}={\frac {u_{n}}{v_{n}}}}$ ;
• la fonction ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$ est définie par : ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$ pour tous les ${\displaystyle x}$ tels que ${\displaystyle g(x)\neq 0}$.

On peut donner la limite de la suite ${\displaystyle {\frac {u}{v}}}$ en fonction des limites respectives des suites ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ (resp. la limite de la fonction ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$ en un point ${\displaystyle a}$ en fonction des limites en ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		${\displaystyle \lim v}$ (resp. ${\displaystyle \lim g}$)
		${\displaystyle \ell '<0}$	${\displaystyle \ell '>0}$	${\displaystyle 0^{-}}$	${\displaystyle 0^{+}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
${\displaystyle \lim u}$ (resp. ${\displaystyle \lim f}$)	${\displaystyle \ell <0}$	${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}$	${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle 0^{(+)}}$	${\displaystyle 0^{(-)}}$
	${\displaystyle \ell >0}$	${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}$	${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle 0^{(-)}}$	${\displaystyle 0^{(+)}}$
	${\displaystyle 0^{-}}$	${\displaystyle 0^{(+)}}$	${\displaystyle 0^{(-)}}$	FI	FI	${\displaystyle 0^{(+)}}$	${\displaystyle 0^{(-)}}$
	${\displaystyle 0^{+}}$	${\displaystyle 0^{(-)}}$	${\displaystyle 0^{(+)}}$	FI	FI	${\displaystyle 0^{(-)}}$	${\displaystyle 0^{(+)}}$
	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	FI	FI
	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	FI	FI

Les formes indéterminées sont soit de type additif : ${\displaystyle +\infty -(+\infty )}$, soit de type multiplicatif : ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$, ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ ou ${\displaystyle {\tfrac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$. Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

• on essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, utilisation d'une expression conjuguée, etc.) ;
• on utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (voir Limites de référence) ;
• on applique les opérations algébriques sur les limites.

L'article suivant traite plus en détail ces techniques :

Soient ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$ deux intervalles non triviaux, ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle g:J\to \mathbb {R} }$ deux applications telles que ${\displaystyle f(I)\subset J}$, et ${\displaystyle a}$ un point de ${\displaystyle I}$ ou une borne de ${\displaystyle I}$.

${\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c.}$

Soient ${\displaystyle g:J\to \mathbb {R} }$ comme précédemment, et ${\displaystyle (y_{n})}$ une suite à valeurs dans ${\displaystyle J}$.

${\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{n\to \infty }y_{n}=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{n\to \infty }g(y_{n})=c.}$