Limites de référence

Les limites en ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ d'une fonction polynomiale ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,\!}$ avec ${\displaystyle a_{n}\neq 0\,\!}$ sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré ${\displaystyle a_{n}x^{n}\,\!}$, dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de ${\displaystyle n\,\!}$ et le signe de ${\displaystyle a_{n}\,\!}$.

Puissances positives :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{\alpha }\\\end{array}}}$ avec ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{\alpha }=+\infty }$ Cas particulier : ${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}$, donc ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x}}=+\infty }$

Puissances négatives :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{\alpha }\\\end{array}}}$ avec ${\displaystyle \alpha <0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}x^{\alpha }=+\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{\alpha }=0}$

Logarithme népérien (ou naturel) :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\ln(x)\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\ln(x)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty }$

Logarithme de base ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\log _{a}(x)\end{array}}}$ avec ${\displaystyle a>0}$

Base ${\displaystyle a>1}$ : ${\displaystyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\log _{a}(x)=-\infty \,\!}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}(x)=+\infty \,\!}$ Base ${\displaystyle a<1}$ : ${\displaystyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\log _{a}(x)=+\infty \,\!}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}(x)=-\infty \,\!}$

La fonction exponentielle :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &{\rm {e}}^{x}\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\rm {e}}^{x}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\rm {e}}^{x}=+\infty }$

Fonction exponentielle de base a :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &a^{x}={\rm {e}}^{x\ln a}\end{array}}}$ avec ${\displaystyle a>0}$

Base ${\displaystyle a>1}$ : ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0\,\!}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty \,\!}$ Base ${\displaystyle a<1}$ : ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty \,\!}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=0\,\!}$

Tangente :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} \setminus \left\{{\cfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\tan(x)={\cfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}\end{array}}}$ Remarque : ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\cfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}={\underset {k\in \mathbb {Z} }{\bigcup }}\left]k\pi -{\cfrac {\pi }{2}};k\pi +{\cfrac {\pi }{2}}\right[}$

Pour tout entier relatif ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ : ${\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {\pi }{2}}+k\pi \atop x>-{\frac {\pi }{2}}+k\pi }\tan(x)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +{\frac {\pi }{2}}+k\pi \atop x<+{\frac {\pi }{2}}+k\pi }\tan(x)=+\infty }$

Cotangente :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} \setminus \left\{k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\cot(x)={\cfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}\end{array}}}$ Remarque : ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}={\underset {k\in \mathbb {Z} }{\bigcup }}\left]k\pi$ ;(k+1)\pi \right[}

Pour tout entier relatif ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ : ${\displaystyle \lim _{x\to k\pi \atop x>k\pi }\cot(x)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to (k+1)\pi \atop x<(k+1)\pi }\cot(x)=+\infty }$

Autres fonctions trigonométriques :

Sinus hyperbolique :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {sinh} (x)={\cfrac {{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {sinh} (x)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {sinh} (x)=+\infty }$

Cosinus hyperbolique :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {cosh} (x)={\cfrac {{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x}}{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {cosh} (x)=+\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {cosh} (x)=+\infty }$

Tangente hyperbolique :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {tanh} (x)={\cfrac {\operatorname {sinh} (x)}{\operatorname {cosh} (x)}}\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {tanh} (x)=-1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {tanh} (x)=1}$

Arc tangente :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\arctan(x)\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}}$

Argument sinus hyperbolique :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {arsinh} (x)\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arsinh} (x)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {arsinh} (x)=+\infty }$

Argument cosinus hyperbolique :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&[1;+\infty [&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {arcosh} (x)\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {arcosh} (x)=+\infty }$

Argument tangente hyperbolique :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&]-1;1[&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &\operatorname {artanh} (x)\end{array}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -1}\operatorname {artanh} (x)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to 1}\operatorname {artanh} (x)=+\infty }$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=u_{n}+r\,\!}$

Dans ce cas ${\displaystyle \varphi (x)=x+r\,\!}$ et ${\displaystyle r\in \mathbb {R} \,\!}$ est appelé la raison de la suite ${\displaystyle u\,\!}$ : on peut donner une expression directe de ${\displaystyle u_{n}\,\!}$ : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=u_{0}+nr\,\!}$.

• Si ${\displaystyle r>0\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})=+\infty \,\!}$

• Si ${\displaystyle r<0\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})=-\infty \,\!}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=qu_{n}\,\!}$

Dans ce cas ${\displaystyle \varphi (x)=qx\,\!}$ et ${\displaystyle q\in \mathbb {R} \,\!}$ est encore appelé la raison de la suite ${\displaystyle u\,\!}$ : on peut donner une expression directe de ${\displaystyle u_{n}\,\!}$ : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=q^{n}u_{0}\,\!}$.

• Si ${\displaystyle |q|<1\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})=0\,\!}$

• Si ${\displaystyle q=1\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})=u_{0}\,\!}$

• Si ${\displaystyle q>1\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})=+\infty \,\!}$

• Si ${\displaystyle q<-1\,\!}$ alors ${\displaystyle u\,\!}$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{2n})=+\infty \,\!}$

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{2n+1})=-\infty \,\!}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}=qu_{n}+r\,\!}$

Dans ce cas ${\displaystyle \varphi (x)=qx+r\,\!}$ (avec ${\displaystyle q\neq 1\,\!}$) et on peut donner une expression directe de ${\displaystyle u_{n}\,\!}$ : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=q^{n}u_{0}+r{\frac {q^{n}-1}{q-1}}\,\!}$.

• Si ${\displaystyle |q|<1\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})={\frac {r}{1-q}}\,\!}$

• Si ${\displaystyle q>1\,\!}$ on a : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{n})=+\infty \,\!}$

• Si ${\displaystyle q<-1\,\!}$ alors ${\displaystyle u\,\!}$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{2n})=+\infty \,\!}$

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(u_{2n+1})=-\infty \,\!}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}\,\!}$

Dans ce cas ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!}$ (avec ${\displaystyle c\neq 0\,\!}$ et ${\displaystyle ad-bc\neq 0\,\!}$) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de ${\displaystyle u_{n}\,\!}$. Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant ${\displaystyle \Delta =(a-d)^{2}+4bc\,\!}$ de l'équation${\displaystyle \varphi (x)=x\,\!}$.

• Si ${\displaystyle \Delta <0\,\!}$ la suite ne peut pas avoir de limite.

• Si ${\displaystyle \Delta =0\,\!}$ la seule limite ${\displaystyle \ell \,\!}$ possible est ${\displaystyle {\frac {a-d}{2c}}\,\!}$.

• Si ${\displaystyle \Delta >0\,\!}$ les seules limites ${\displaystyle \ell \,\!}$ possibles sont ${\displaystyle {\frac {a-d-{\sqrt {\Delta }}}{2c}}\,\!}$ ou ${\displaystyle {\frac {a-d+{\sqrt {\Delta }}}{2c}}\,\!}$.

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial ${\displaystyle u_{0}\,\!}$ la distance ${\displaystyle |u_{n}-\ell |\,\!}$ pour chaque valeur éventuelle de ${\displaystyle \ell \,\!}$.