Liste de fonctions numériques

En mathématiques, certaines fonctions ont une dénomination usuelle, dépendant éventuellement d'un ou plusieurs paramètres numériques, qui les définit précisément. Il peut s'agir de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, voire de fonctions arithmétiques.

Fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes

Fonctions algébriques

nulle (x ↦ 0) constantes (x C) affines
(xax+b)
identité (xx) linéaires (xax)
carré (xx2) second degré (xax2+bx+c) polynomiales
(xP(x))
cube (xx3) puissances (xxn)
inverse (x ↦ 1/x) homographiques (xax+b/cx+d) rationnelles
(xP(x)/Q(x))
lorentziennes
racine carrée (x ↦ √x) racine cubique (x3x)

À partir des fonctions constantes (dont la valeur est indépendante de la variable) et de la fonction identité (dont la valeur est égale à la variable), combinées par addition et multiplication, il est possible de définir toutes les fonctions polynomiales, parmi lesquelles se trouvent les fonctions puissance à exposant entier positif. L'utilisation supplémentaire de l'opération de division permet d'obtenir toutes les fonctions rationnelles, dont les fonctions puissance à exposant négatif.

Les réciproques de ces fonctions ont donc une valeur qui est solution d'une équation polynomiale en la variable, comme dans le cas des fonctions racines. Plus généralement, les fonctions dont la variable et la valeur sont reliées par une équation polynomiale à deux inconnues sont appelées fonctions algébriques.

Fonctions affines par morceaux

valeur absolue (x ↦ |x|)
signe (sgn)
partie entière (E : x ↦ [x])
partie fractionnaire (x ↦ {x})
porte (Π)
rampe
fonction de Heaviside (H) – fonctions de Walsh (Wj) – ondelettes de Haar (hk)

compte des nombres premiers (π) – fonctions de Tchebychev (ϑ, ψ)

Certaines fonctions classiques peuvent être définies par recollement de fonctions plus simples, notamment affines. Elles admettent alors des expressions algébriques différentes sur des intervalles disjoints, telles la valeur absolue, le signe et les parties entière et fractionnaire.

D'autres exemples sont donnés par certaines fonctions caractéristiques d'un ensemble comme la fonction de Heaviside.

Fonctions analytiques transcendantes

sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan), cotangente (cot), sécante (sec), cosécante (csc) et leurs réciproques : arc sinus (arcsin), arc cosinus (arccos), arc tangente (arctan), arc cotangente (arccot), arc sécante (arcsec), arc cosécante (arccsc), involute (inv)…

noyau de Dirichlet (Dn) – noyau de Fejér (Fn) – sinus cardinal (sinc) – Carotid–Kundalini (CKn) – fonction de phase de Henyey-Greenstein (P)

Fonctions trigonométriques et associées
Elles peuvent être définies analytiquement à partir de la fonction exponentielle complexe et permettent de construire les polynômes trigonométriques comme le noyau de Dirichlet ou celui de Fejér, mais aussi d'autres fonctions comme le sinus cardinal.
exponentielle (exp) – de base a (expa) – doubleétirée

logarithmes : décimal (log) – népérien (ln) – complexe (Log)

gaussiennesfonction W de Lambert

Exponentielle, logarithme et associées
Ces fonctions réciproques l'une de l'autre peuvent être toutes deux obtenues comme solution d'une équation différentielle ou à partir d'une série entière et prolongées analytiquement dans le plan complexe.
cosinus hyperbolique (cosh) – argument cosinus hyperbolique (arcosh)
sinus hyperbolique (sinh) – argument sinus hyperbolique (arsinh)
tangente hyperbolique (tanh) – argument tangente hyperbolique (artanh)…

sigmoïdelogit

fonctions de Brillouin (BJ) – Langevin (L) – Stumpff (cn)

Fonctions hyperboliques, logistiques et associées.
Elles peuvent être définies analytiquement à partir de la fonction exponentielle réelles.
gamma (Γ) – digamma (Ψ) – polygammagamma incomplètemultidimensionnellebêta (Β) – bêta incomplèteG-fonction de BarnesK-fonction

fonction de Bose (gσ) – Legendre (Pλμ, Qλμ)– Mittag-Leffler (Eαβ)

Fonction gamma et associées
Ces fonctions sont définies à partir de la fonction gamma d'Euler, puis par diverses opérations analytiques (produit, différentiation...).
logarithme intégral (Li) – exponentielle intégrale (Ei)
sinus intégral (Si) – cosinus intégral (Ci)

fonction d'erreur (erf) – fonctions de Dawson (D+, D)

fonctions de Voigt (V) – fonctions de Pearsonfonction de Gudermann (gd) – Owen (T) – Bickley-Naylor (Kin)

Fonctions définies à l'aide d'une intégrale
Ces fonctions nécessitent la définition d'une ou plusieurs des fonctions définies précédemment, qui apparaitront dans la fonction intégrée.
fonction elliptique de Jacobi (sn, cn, dn)

fonction elliptique de Weierstrass (℘) – zêta (ζ) de Weierstrassthêta (ϑ) – modulaire (λ)

Fonctions elliptiques et associées
fonctions de Bessel (Jn) – modifiées (In, Kn) – sphériques (jn, yn) – Neumann (Yn) – Hankel (Hα) – Kelvin-Bessel (berν, beiν, kerν, keiν)

fonctions d'Airy (Ai, Bi) – Scorer (Gi, Hi) – Q de Marcum

harmoniques sphériques (Yl,m) – ellipsoïdales

fonctions de Mathieufonctions cylindro-paraboliques

Fonctions de Bessel, harmoniques et associées
fonctions zêta (ζ) de RiemannDedekindHasse-WeilHurwitzLerch

fonction zêta (ζ) de Selberg

fonctions êta (η) de : DedekindDirichlet

fonction bêta (β) de Dirichletfonction chi (χ) de Legendre

hypergéométrique confluentepolylogarithme (Lin)
fonction de Kummern) – fonction de Clausen (Cls)

fonction R de Riemannxi de Riemann (ξ) – φ d’Euler

Séries de Dirichlet et L-fonctions
Ces fonctions d'une ou plusieurs variables complexes sont définies à l'aide de séries où une variable apparait en exposant dans chaque terme. Certaines peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions hypergéométriques.

Autres fonctions d'une variable réelle

Certaines fonctions sont définies avec des irrégularités non isolées :

D'autres fonctions sont définies par morceaux comme les splines, la fonction de Dickman (ρ) ou la somme de Dedekind (s).

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions à variables entières

Fonctions arithmétiques

factorielle (!) – indicatrice d'Euler (φ) – fonction somme des puissances k-ièmes des diviseursk) – partition d'un entier (p) – totient de Jordan (Jk) – grand omega (Ω) – fonction de Möbius (μ) – Landau (g) – Liouville (λ) – von Mangoldt (Λ) – Mertens (M) – fonction 91 de McCarthy

Elles sont définies pour chaque entier naturel (à l'exclusion éventuelle de zéro), souvent à l'aide d'un dénombrement d'un ensemble directement associé aux propriétés arithmétiques de cet entier ou des entiers inférieurs.

Autres fonctions

fonction d'Ackermann (A) – Carmichael (λ) – castor affairé (Σ) – Collatzcomète de Goldbach (g) – fonction de SudanTakeuchi (τ)

symbole de Kronecker (δ) – symbole de Levi-Civita (ε)

Certaines fonctions en théorie de la calculabilité sont obtenues à partir d'une formulation à plusieurs variables.

Voir aussi

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