Paradoxe du menteur

Il peut être vu deux interprétations^{[pas clair][réf. nécessaire]} :

• En tant qu'énoncé, cette phrase dit : « Cette phrase est fausse. » ;
• En tant que propos, il faut comprendre : « Je mens maintenant. »

Les interprètes modernes^{[Lesquels ?][réf. nécessaire]} ont résolu ce paradoxe en l'étalant dans l'espace. En effet, tout ce qui peut être déduit de la citation d'Épiménide, c'est qu'elle est fausse ; en particulier tous les Crétois ne sont pas des menteurs, mais Épiménide, lui, en est un. Le paradoxe se résout ainsi, en l'étalant dans l'espace. Néanmoins la phrase, au présent, nécessiterait une analyse au même temps, avec toute l'instantanéité nécessaire à la résolution de l'assertion d'Épiménide.

En fait, la négation de « Tous les Crétois sont des menteurs. » n’est pas : « Tous les Crétois disent la vérité », mais : « Il existe au moins un Crétois qui dit la vérité » (et il faudrait même dire, dans le sens où menteur est utilisé jusqu'ici, « Il existe au moins un Crétois qui dit parfois la vérité »). Donc, il peut exister un ou plusieurs menteurs Crétois, mais il est vrai que celui-ci peut être Épiménide.

De manière analogue, le paradoxe « Je mens toujours » cesse de l'être lorsqu'il est étalé dans le temps : au moment où je dis « Je mens toujours », je mens nécessairement (sinon, il s'agit du même problème qu'avec Épiménide), ce qui implique que je ne mens pas toujours. Il n'y a pas de contradiction logique : il m'arrive de mentir, mais pas toujours !

Le paradoxe du menteur devient plus intéressant lorsque la version suivante est considérée : « Je mens en ce moment même ». Si la phrase est vraie, alors c'est qu'elle est fausse. Mais si elle est fausse, alors elle devient vraie !

Cela indique que quand une phrase peut se prendre elle-même pour énoncé, cela peut conduire à une situation instable (voir pangramme autodescriptif).

Cette phrase réalise une action du fait de son énonciation, c'est une contradiction performative. Autre exemple : « je suis mort » (si je parle c'est que je suis encore vivant).

Le philosophe Alexandre Koyré, considère que [12] « Le menteur se présente comme un jugement antinomique typique : la vérité de la proposition affirmée entraîne, en effet, sa fausseté ; et sa fausseté entraîne, à son tour sa vérité. En fait, sous aucune de ces formes, le Menteur n'est-il un jugement antinomique. Mais - et c'est là le point important - la raison pour laquelle sa prétention à l'antinomie doit être récusée n'est pas dans les deux cas la même : L’Épiménide est un jugement contradictoire, un contre-sens ; le “je mens” n'est pas un jugement du tout. »

et :

« Pour l'analyse correcte de l'Epiménide, il faut tenir compte : 1- du sens du jugement prononcé par Épiménide 2- du fait que c'est Épiménide qui le prononce. »

puis [13]:

« Le jugement : “tous les Crétois” etc... est en quelque sorte interdit à Épiménide. Il ne peut pas le prononcer, ou, si l'on préfère, dans sa bouche il se pervertit et devient un contre-sens. Le cas n’est nullement unique ; si quelqu'un nous disait : “Le navire sur lequel je me suis embarqué a péri avec tout son équipage”, nous pourrions et devrions mettre en doute soit la vérité de l'assertion, soit la véracité de son auteur. »

La logique mathématique, par exemple le calcul des prédicats du premier ordre classique, échappe au paradoxe du menteur du fait de sa formalisation : les énoncés doivent être bien formés, soit des formules du langage considéré, et il n'est pas possible d'écrire dans celui-ci l'énoncé paradoxal qui est un énoncé du métalangage.

Les énoncés paradoxaux peuvent réapparaître via un codage de la logique formelle dans une théorie suffisamment riche pour cela, comme l'arithmétique ou la plupart des théories destinées à fonder les mathématiques, mais ce ne sont plus des paradoxes au sens où ils ne mènent plus à une contradiction.

Ainsi, Kurt Gödel fait référence explicitement au paradoxe du menteur dans l'article de 1931 sur ses deux célèbres théorèmes d'incomplétude : pour établir la preuve du premier théorème d'incomplétude, il parvient à coder une certaine forme de ce paradoxe du menteur (où cependant la démontrabilité remplace la vérité). Il n'y a plus de contradiction, mais on montre que l'énoncé ainsi construit n'est pas prouvable (et pour d'autres raisons, sa négation ne l'est pas non plus). Le théorème de Tarski illustre encore plus clairement cette démarche : cette fois il s'agit de montrer que l'on ne peut pas exprimer la vérité dans l'arithmétique, car sinon le paradoxe pourrait s'exprimer et fournirait une contradiction.

On peut tenter d'éclaircir le lien entre le paradoxe du menteur et l'incomplétude de certaines théories mathématiques. Quelqu’un dit « je mens », est-ce qu’il ment ? S’il ment c’est qu’il ne ment pas. S’il ne ment pas c’est qu’il ment. Ce qu’il dit affirme sa propre fausseté. On a vu que ce paradoxe peut être présenté sous une autre forme : la présente phrase qui commence par « la présente phrase » et finit par « est fausse » est fausse, ou plus simplement, cette phrase est fausse.

Une théorie est un ensemble de propositions. On peut la considérer comme une sorte de diseur de vérités. La théorie dit que toutes ses phrases sont vraies. Le paradoxe du menteur prouve qu’il y a des restrictions sur les capacités des diseurs de vérité quand ceux-ci sont capables de formuler des énoncés à propos de ce qu’ils disent. Supposons qu’un diseur de vérité soit capable de répondre par avance à toutes les questions sur ce qu’il va répondre. Posons-lui alors la question « à cette question vas-tu répondre non ? ». Qu’il réponde oui ou non, dans les deux cas il dit faux. Il ne peut donc pas répondre sans se tromper.

Il s’agit d’une incomplétude essentielle pour les théories et les diseurs de vérité. Ils ne peuvent pas dire toute la vérité sur tout ce qu’ils disent à partir du moment où leurs moyens d’expression sont suffisamment riches pour permettre de poser des questions telles que celle qui vient d’être citée. En résumé, dès qu’on peut poser à un diseur de vérité des questions telles que « À cette question, vas-tu répondre non ? », il ne peut pas à la fois toujours répondre et toujours dire la vérité.

Des variantes auto-référentielles avec plusieurs phrases sont possibles comme la carte de Jourdain, où est écrit d'un côté "la phrase de l'autre côté est vraie" et de l'autre côté "la phrase de l'autre côté est fausse". Ce mécanisme peut être généralisé avec un nombre fini quelconque de phrases qui peuvent être de contenus variés.

On peut aussi avoir des variantes infinitaires comme dans le paradoxe de Yablo où dans une suite infinie de phrases, chacune indique que toutes les phrases suivantes sont fausses.

De nombreuses variantes du paradoxe, présentées souvent sous forme d'énigmes ont été présentées par le logicien Raymond Smullyan dans plusieurs ouvrages, dont Quel est le titre de ce livre ?. Elles mettent souvent en scène des personnages mythiques d'une contrée éloignée dont certains disent toujours la vérité, certains mentent toujours et certains disent parfois le vrai parfois le faux, le problème est alors pour un voyageur les rencontrant de déterminer en un nombre minimal de questions (dont les réponses ne doivent être que oui ou non) qui est qui.

Le logicien George Boolos s'en est inspiré pour composer l'énigme la plus difficile du monde.

Pinocchio qui affirme un jour : « mon nez allonge ».

Dans le jeu vidéo Portal 2, GLaDOS tente d'éliminer Wheatley en lui proposant le paradoxe suivant : « Cette phrase est fausse. ». Cela échoue, car Wheatley, bien qu'étant une machine, est doté d'une I.A. trop simple pour tenter de résoudre le paradoxe. Sa réponse indique qu'il fait un choix arbitraire sans chercher à comprendre : « Vrai. Je choisis vrai. Ha. C'était facile. ». Juste après, GLaDOS tente un autre paradoxe qui malheureusement ne fonctionne pas non plus : « Ne pas analyser cette phrase. », mais Wheatley choisit vrai.

Ce paradoxe se retrouve également dans un passage de Martiens, Go Home! de Fredric Brown^{[réf. nécessaire]}. À un scientifique qui déduit du comportement des envahisseurs martiens qu'ils ne peuvent pas mentir, l'un d'eux répond : « je peux mentir ». Le scientifique énonce alors les possibilités du paradoxe et finit par se suicider.

• Alexandre Koyré, Épiménide le menteur (Ensemble et Catégorie), Hermann, 1947, 43 p.
• Jon Barwise et John Etchemendy, The Liar, Oxford University Press, Londres, 1987. Approche du paradoxe utilisant entre autres une théorie des ensembles avec axiome d'anti-fondation, un axiome qui a pour conséquence, entre autres, l'existence d'ensembles appartenant à eux-mêmes.
• Raymond Smullyan,
  • Les théorèmes d'incomplétude de Gödel, Dunod, 2000 (ISBN 2-10-005287-X)
  • Quel est le titre de ce livre ?, Dunod, 1981 (ISBN 2-10-002003-X)