Polytope abstrait

Six quadrilatères isomorphes.

En géométrie euclidienne, les six quadrilatères ci-contre sont tous différents. Pourtant, ils ont une structure commune : la chaîne alternée de quatre sommets et de quatre côtés qui leur donne leur nom. On dit qu'ils sont isomorphes.

Cette structure commune peut être représentée par un polytope abstrait sous-jacent, un ensemble partiellement ordonné qui capture le modèle des connexions ou des incidences entre les différents éléments structurels. Les propriétés mesurables des polytopes traditionnels tels que les angles, les longueurs de bord, l'asymétrie, la rectitude et la convexité n'ont aucune signification pour un polytope abstrait.

Ce qui est vrai pour les polytopes traditionnels (aussi appelés polytopes classiques ou géométriques) ne l'est peut-être pas pour les polytopes abstraits, et vice versa. Par exemple, un polytope traditionnel est régulier si toutes ses faces et tous ses sommets sont réguliers, mais ce n'est pas nécessairement le cas pour un polytope abstrait[2]

On dit qu'un polytope (au sens géométrique traditionnel) est une réalisation du polytope abstrait correspondant aux relations d'incidence entre ses sommets ,ses arêtes, ses faces, etc. Ainsi, les six quadrilatères représentés sont des réalisations distinctes du même quadrilatère abstrait, mais certains (par exemple ceux avec des arêtes courbes) ne correspondent pas à la définition traditionnelle d'un quadrilatère ; on dit que ce sont des réalisations infidèles.

Les éléments de la structure d'un polytope - les sommets, les arêtes, les cellules, etc. - sont associés à des éléments de l'ensemble partiellement ordonné qu'est le polytope abstrait. Ces derniers (appelés génériquement des faces du polytope abstrait) reçoivent le même nom : ceux associés à un sommet sont encore appelés des sommets (ou 0-faces), les arêtes sont des 1-faces, et en général un élément associé à un élément de dimension k est une k-face (ainsi, les facettes des polyèdres sont des 2-faces).

Si F est une k-face, le nombre k est son rang.

On peut ordonner (partiellement) des faces de rang différent par l'inclusion, par exemple si une arête A d'une facette F relie les sommets P et Q, on notera P < A, Q < A et A < F (et donc P < F). On dit que A, P et Q sont des sous-faces de F.

En général, F et  G sont dits incidents si F = G ou F < G ou G < F (cet usage du terme « incident » ne correspond pas au sens géométrique usuel, ainsi dans le carré abcd, les côtés ab et bc ne sont pas incidents à ce sens, mais ils sont bien tous deux incidents avec le sommet b).

Réciproquement, un polytope abstrait est alors défini comme un ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre satisfait certains axiomes supplémentaires (vérifiés par la relation d'incidence pour les polytopes usuels).

Il est pratique de considérer l'ensemble vide comme une face de tout polytope abstrait ; c'est le plus petit élément pour la relation d'incidence et on lui attribue le rang -1, puisqu'il est (pour cette relation) un niveau en dessous des sommets, objets de dimension (et donc de rang) 0. Dans ce contexte, on le note F₋₁ ; il n'a évidemment pas de réalisation (géométrique).

Toujours conventionnellement, il est également utile de considérer le polytope tout entier comme une seule face, plus grand élément et donc incidente à toutes les autres, et dont le rang n est la dimension d'une réalisation du polytope. On dénote cette face par F_n ; on considère parfois que sa réalisation est l'intérieur du polytope géométrique.

F₋₁ et F_n sont appelés des faces impropres ; les autres sont des faces propres.

Les faces de l'unique quadrilatère abstrait (également appelé carré dans ce contexte) sont données dans la table suivante :

La relation < est définie par un ensemble de couples dont la liste est :

F₋₁ < a, ... , F₋₁ < X, ... , F₋₁ < F₂, ... , b < Y, ... , c < F₂, ... , Z < F₂.

Les relations d'ordre étant transitives, il n'est pas nécessaire de donner la liste de toutes les paires, mais seulement celles de la forme F < H, telles que aucun G ne vérifie F < G < H.

Les côtés (ou arêtes) W, X, Y et Z sont souvent écrits ab, ad, bc, et cd respectivement, mais cette notation, plus claire pour les polytopes réalisés géométriquement, n'est pas toujours possible, comme on le verra plus bas dans le cas du digone, par exemple.

Les quatre côtés (et les quatre sommets) jouent le même rôle ; on parle dans ce cas d'automorphisme (ou plus géométriquement de symétries).

Le graphe (à gauche) et le diagramme de Hasse du quadrilatère, avec les rangs indiqués à droite (F₂ est noté G).

Les petits ensembles partiellement ordonnés, en particulier les petits polytopes, sont souvent mieux représentés par leur diagramme de Hasse. Par convention, les faces de même rang sont placées au même niveau ; les lignes entre faces représente la relation d'incidence, A < B si A et B sont reliées et si A est un niveau en dessous de B. Cette représentation caractérise complètement le polytope abstrait, ce qui n'est pas le cas de la représentation par le graphe, par exemple.

Le rang d'une face F est défini comme (m − 2), où m est le nombre maximum de faces dans une suite totalement ordonnée de la forme F' < F" < ... < F. F' est toujours la face la plus petite, F₋₁.

Le rang du polytope abstrait est celui de sa plus grande face F_n.

Les faces de certains rangs ont des noms particuliers :

† Traditionnellement, "face" est utilisée pour une 2-face, d'où l'absence de terme spécifique.

Un drapeau (en) est un sous-ensemble maximal de faces totalement ordonné (une chaîne).

Par exemple, {ø, a, ab, abc} est un drapeau du triangle abc.

Dans un polytope donné, tous les drapeaux ont le même nombre de faces (un de plus que le rang du polytope).

Le graphe (à gauche) et le diagramme de Hasse d'un prisme triangulaire, montrant une 1-section (rouge), et une 2-section (verte).

Dans un polytope abstrait P, étant données deux faces F et H de P avec F ≤ H, l'ensemble {G | F ≤ G ≤ H} est appelé une section de P, et noté H/F (dans le langage de la théorie des ordres, il s'agit d'un intervalle fermé, que l'on note [F, H]).

Par exemple, dans le prisme abcxyz du diagramme ci-contre, la section xyz/ø (marquée en vert) est le triangle

{ø, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.

Une k-section est une section de rang k, c'est-à-dire que k = rang (H) - rang (F).

Un polytope sous-ensemble d'un autre polytope n'en est pas nécessairement une section. Par exemple, le carré abcd est un sous-ensemble du tétraèdre abcd (qui, outre les faces abc, abd, etc. possède les deux arêtes supplémentaires ac et bd), mais n'en est pas une section.

La figure de sommet en un sommet donné V est la (n−1)-section F_n/V, où F_n est la plus grande face.

Par exemple, dans le triangle abc, la figure de sommet en b, abc/b, est {b, ab, bc, abc}, autrement dit un segment. Les figures de sommets d'un cube sont des triangles.

Un ensemble partiellement ordonné P est connexe si P est de rang ≤ 1 ou si, étant donné deux faces propres quelconques F et G, il existe une séquence de faces propres

H₁, H₂, ... ,H_k

avec F = H₁, G = H_k, et chaque H_i, i < k, est incidente avec H_i+1.

Cette condition garantit qu'une paire de triangles disjoints abc et xyz n'est pas un polytope. Pour éviter que deux pyramides ayant un sommet en commun soit un polytope, on rajoute la condition de connexité forte : P est fortement connecté si toute section de P est connectée.

Le polytope nul a un seul élément.

L'axiome 3 est équivalent (compte tenu des autres axiomes) à la forte connexité par drapeaux (un analogue de la connexité par arcs), signifie informellement que :

Pour toute section du polytope, on peut passer d'un drapeau à un autre en ne changeant qu'une face à la fois.

L'axiome 4 est connu comme la « propriété du losange », en raison de l'aspect du diagramme de Hasse entre a et b.

À partir des axiomes, on peut montrer que chaque section est un polytope, et que rang(G/F) = rang(G) − rang(F) − 1.

D'un point de vue informel, l'axiome 4 signifie que les k-faces sont collées 2 à 2 le long d'une (k-1)-face, et qu'inversement chaque k-face appartient au bord d'exactement deux (k+1)-faces.

Il y a un seul polytope pour les rangs −1, 0 et 1. Ce sont, respectivement, le polytope nul, le point (ceux-ci ne sont pas toujours considérés comme des polytopes valides) et le segment.

Le segment, outre ses plus petites et plus grandes faces, a exactement deux 0-faces, par exemple S = {ø, a, b, ab}.

Pour chaque p, 3 ≤ p < ${\displaystyle \infty }$, on obtient l'équivalent abstrait du polygone traditionnel à p sommets et p côtés, le p-gone. Pour p = 3, 4, 5, ... on obtient le triangle, le carré, le pentagone, ....

Pour p = 2, on obtient le digone, et pour p = ${\displaystyle \infty }$ l'apeirogone.

Un digone est un polygone à deux arêtes, qui ont les mêmes deux sommets ; il est donc dégénéré dans le plan euclidien (mais on peut le plonger sur le cylindre, par exemple).

La notation par ensembles de sommets comme T = {ø, a, b, c, ab, ac, bc, abc} pour le triangle abc ne peut pas être utilisée pour le digone ; il est nécessaire de donner des noms individuels aux « côtés » et de spécifier les relations d'incidence, par exemple de définir le digone comme l'ensemble {ø, a, b, E', E", G} avec la relation < donnée par

{ø<a, ø<b, a<E', a<E", b<E', b<E", E'<G, E"<G}

(E' et E" sont les 1-faces, et G la 2-face).

Cette situation est relativement fréquente : un polytope ne peut être complètement décrit par ensembles de sommets que si deux faces distinctes ont des ensembles de sommets incidents distincts. Un polytope ayant cette propriété est dit atomique.

Le digone a pour généralisation les hosoèdres (en) et les hosotopes de plus grande dimension, qui peuvent tous être réalisés comme polyèdres sphériques, c'est-à-dire qu'ils pavent la n-sphère.

Les solides de Platon (à l'exception du tétraèdre régulier) sont invariants par symétrie centrale, ce qui permet de les projeter sur le plan projectif, obtenant quatre nouveaux polyèdres abstraits (réguliers), l'hémicube (en), l'hémioctaèdre (en), l'hémidodécaèdre (en) et l'hémiicosaèdre (en).

Le 11-cell (en), découvert indépendamment par H. S. M. Coxeter et Branko Grünbaum, est un 4-polytope abstrait. Ses facettes (des 3-polytopes) sont des hémiicosaèdres, topologiquement isomorphes à des plans projectifs et non à des sphères, ce qui interdit de le voir comme un pavage d'une variété au sens usuel. Historiquement, c'est l'un des premiers polytopes abstraits découverts qui ne se déduise pas d'un polytope géométrique. Il est autodual et universel, de plus, c'est le seul polytope à facettes hémiicosaédrales et à figures de sommet hémidodécaédrales.

Le 57-cell (en), découvert par H. S. M. Coxeter un peu après la découverte du 11-cell, est aussi autodual et universel, et c'est le seul polytope avec des facettes hémidodécaédrales et des figures de sommet hémiicosaédrales. Un exemple proche du 57-cell est le polytope universel pour des facettes hémidodécaédrales et des figures de sommet icosaédrales ; bien que fini, celui-là est très grand, avec 10006920 facettes et 5003460 sommets.

Historiquement, le problème d'amalgamation a été considéré d'un point de vue topologique, en prenant pour K et L non des polytopes spécifiques, mais n'importe quel représentant d'une classe d'équivalence, typiquement correspondant au pavage d'une variété. Par exemple, si K et L sont sphériques (c'est-à-dire que leurs facettes pavent une n-sphère), on dit que P est localement sphérique (et les facettes de P pavent alors une variété de dimension n+1).

Plus généralement, on dit qu'un polytope est localement X si ses facettes et figures de sommet sont (topologiquement) des sphères ou X (mais pas toutes les deux des sphères). Le 11-cell et le 57-cell sont ainsi deux exemples de rang 4 de polytopes localement projectifs, les facettes et les figures de sommet étant toutes deux des plans projectifs.

La pyramide à base carrée et son diagramme de Hasse.

On peut souvent réduire la matrice d'incidence en regroupant les faces symétriques, et en comptant les incidences avec multiplicité. Ainsi, pour la pyramide à base carrée ci-contre, on peut regrouper les sommets B, C, D et E, les arêtes f, g, h et j, etc., obtenant finalement la matrice :

(les * représentes des incidences impossibles entre éléments distincts de même rang)

Dans cette représentation, la matrice n'est plus symétrique, bien que des redondances persistent : notant ${\displaystyle I=(I_{ij})}$ la matrice, on a ${\displaystyle I_{ii}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j).}$