Polytope monostatique

En géométrie, un polytope monostatique (ou unistable) est un polytope convexe qui ne possède qu'une facette sur laquelle il est en équilibre. Ces objets ont été décrits en 1969 par J. H. Conway, M. Goldberg et R. K. Guy, qui ont à cette occasion construit un polyèdre monostatique à 19 faces. En 2012, Andras Bezdek en a découvert un exemple à 18 faces et, en 2014, Alex Reshetov une version à 14 faces.

Définition

Un polytope convexe est dit monostatique si, une fois rempli de façon homogène, il existe une seule facette sur laquelle on peut le poser de façon stable. Autrement dit, un polytope est monostatique si son centre de gravité a une seule projection orthogonale située à l'intérieur d'une des facettes.

Propriétés
  • Aucun polygone convexe du plan n'est monostatique. Cela a été démontré par V. Arnold par utilisation du théorème des quatre sommets.
  • Il n'existe pas de simplexe monostatique en dimensions jusqu'à 8. En dimension 3, cela a été prouvé par Conway. En dimensions jusqu'à 6 ce résultat est dû à R. J. M. Dawson. Les dimensions 7 et 8 ont été écartées par R. J. M. Dawson, W. Finbow, et P. Mak.
  •  Il existe des simplexes monostatiques en dimension 10 (R. J. M. Dawson).

Voir aussi

Références
  • J. H. Conway, M. Goldberg et R. K. Guy, Problème 66-12, SIAM Review 11 (1969), 78–82.
  • H. Croft, K. Falconer, et R. K. Gars,  Problem B12 in Unsolved Problems in Geometry, New York: Springer-Verlag, p. 61, 1991.
  • R. J. M. Dawson, Monostatic simplexes.  Amer. Math. Monthly 92 (1985), no. 8, 541–546.
  • R. J. M. Dawson, W. Finbow, P. Mak, Monostatic simplexes. II. Geom. Dedicata 70 (1998), 209–219.
  • R. J. M. Dawson, W. Finbow, Monostatic simplexes. III. Geom. Dedicata 84 (2001), 101–113.
  • Igor Pak, Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry, Section 9., Section 9.
  • A. Reshetov, A unistable polyhedron with 14 faces. Int. J. Comput. Geom. Appl. 24 (2014), 39–60

Liens externes
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