Principe de correspondance

On peut passer de lois en physique classique aux lois traitant du même sujet en physique quantique en :

• Remplaçant les variables dynamiques V du système par des observables A agissant sur la fonction d'état du système : ${\displaystyle E\leftrightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ et ${\displaystyle {\vec {p}}\leftrightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$
• Remplaçant ${\displaystyle {\frac {d{V(t)}}{dt}}}$ par le commutateur des opérateurs associés ${\displaystyle {\frac {1}{i\hbar }}[H;A(t)]}$, A(t) étant l'observable et H l'hamiltonien.

On peut démontrer que ${\displaystyle {\frac {1}{i\hbar }}[H;A(t)]=\left\{H,A\right\}+O(\hbar ^{2})}$, où ${\displaystyle \left\{H,A\right\}}$ est le crochet de Poisson de l'hamiltonien et de la variable dynamique.

Or, ${\displaystyle {\frac {d{V(t)}}{dt}}=\left\{H,V\right\}}$ en mécanique classique. On retrouve bien l'expression classique si ${\displaystyle O(\hbar ^{2})}$ est négligeable, ce qui est le cas dans le domaine d'application du principe de correspondance.

Ce qui aboutit au théorème d'Ehrenfest : les mesures faites en physique classique sont égales aux moyennes des observables associés aux variables utilisées.

Cependant, il faut remarquer qu'en mécanique quantique il y a des propriétés sans correspondance classique, par exemple le spin.

Il est montré ici en quoi, dans cet exemple, des nombres quantiques importants permettent de retrouver la mécanique classique.

On considère un oscillateur harmonique quantique à 1 dimension. D'après la mécanique quantique, son énergie totale (cinétique et potentielle), notée E, est l'une des valeurs discrètes :

${\displaystyle E=(n+1/2)\hbar \omega ,\ n=0,1,2,3,\dots }$

où ${\displaystyle \omega \,}$ est la fréquence angulaire de l'oscillateur. Cependant, dans un oscillateur harmonique classique - par exemple une bille de plomb attachée à un ressort - il y a un mouvement continu. D'ailleurs, l'énergie d'un tel système semble continue.

C'est ici qu'intervient le principe de correspondance, qui permet de passer à un cas « macroscopique ». En notant ${\displaystyle A\,}$ l'amplitude de l'oscillateur classique :

${\displaystyle E={\frac {m\omega ^{2}A^{2}}{2}}}$

À la limite de correspondance, les deux approches sont équivalentes : la mécanique quantique donne :

${\displaystyle n={\frac {E}{\hbar \cdot \omega }}-{\frac {1}{2}}={\frac {m\omega A^{2}}{2\hbar }}-{\frac {1}{2}}}$

Prenons des valeurs à notre échelle : m = 1 kg, ${\displaystyle \omega \,}$ = 1 rad/s et A = 1 m. On trouve n ≈ 4,74 × 10³³. C'est un système effectivement très large, le système est bien dans la limite de correspondance.

On comprend alors pourquoi on a l'impression d'un mouvement continu : avec ${\displaystyle \omega \,}$ = 1 rad/s, la différence entre deux niveaux d'énergie successifs est ${\displaystyle \hbar \omega \approx 1{,}05\times 10^{-34}}$J, bien en deçà de ce qu'il est possible de facilement détecter.

L'équation de l'énergie d'un corps en physique classique est : ${\displaystyle \ E={\frac {1}{2m}}.({\vec {p}}~)^{2}+V({\vec {r}},t)}$

La correspondance entre les valeurs classiques et les opérateurs est : ${\displaystyle E\longleftrightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ et ${\displaystyle {\vec {p}}\longleftrightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

En remplaçant dans l'énergie classique, on obtient : ${\displaystyle \ i\,\hbar \ {\frac {\partial }{\partial t}}\ =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\nabla ^{2}\ +\ V({\vec {r}},t)\,\ }$

Cette égalité est une égalité d'opérateurs agissants sur l'ensemble des fonctions. En l'appliquant à une fonction ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$, on obtient : ${\displaystyle \ i\,\hbar \ {\frac {\partial \psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}\ =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}},t)\ +\ V({\vec {r}},t)\psi ({\vec {r}},t)\,\ }$

Ce qui n'est rien d'autre que l'équation de Schrödinger.

Cette manière de l'obtenir n'a qu'une vertu d'illustration de l'utilisation du principe et n'est nullement une démonstration de l'équation.

Il est à remarquer que cette technique appliquée à l'équation de l'énergie en relativité restreinte permet de retrouver l'équation de Klein-Gordon.

Einstein comprit qu'en relativité restreinte la dérivation suivant un axe de coordonnée est remplacée, en relativité générale, par la dérivation covariante qui consiste à dériver suivant le substitut à la notion de droite dans un espace courbe : le chemin suivi par le mouvement inertiel, ce que l'on appelle une géodésique.

C'est une application du principe d'équivalence et du principe de relativité : les équations de la relativité restreinte sont vues comme des équations de tenseurs dans un référentiel inertiel (en mouvement suivant une géodésique, ou encore en chute libre dans le champ de gravitation), et pour retrouver les équations dans les autres référentiels, il suffit de remplacer chaque tenseur utilisé par son expression générale en relativité générale, et chaque dérivée suivant une droite du référentiel d'inertie, donc cette droite est une géodésique, par l'expression de la dérivation suivant cette géodésique.

Pour retrouver formellement les équations de la relativité générale à partir des équations de la relativité restreinte, il faut :

• S'assurer que l'équation de la relativité restreinte est bien une égalité de tenseurs. Par exemple la quadri-vitesse est un tenseur, mais les quadri-coordonnées n'en forment pas un.
• Y remplacer la métrique ${\displaystyle \ \eta ^{ij}}$ par la métrique ${\displaystyle \ g^{ij}}$.
• Y remplacer les différentielles ${\displaystyle \partial _{i}}$ par les différentielles covariantes ${\displaystyle \ D_{i}}$ ou ${\displaystyle \nabla _{i}}$, suivant la notation choisie.
• Y remplacer, dans les intégrales, le volume élémentaire ${\displaystyle \ d^{4}x}$ par ${\displaystyle {\sqrt {|g|}}.d^{4}x}$.

On obtient alors l'équation de la relativité générale qui concerne le même sujet que celui traité en relativité restreinte.

Bien sûr, on ne peut obtenir ainsi les équations du champ de gravitation qui ne peuvent être traitées en relativité restreinte. Toutefois, ce fut un guide précieux :

En relativité restreinte, le tenseur d'énergie ${\displaystyle \ T^{ij}}$ vérifie ${\displaystyle \partial _{i}T^{ij}=0}$, ce qui donne, en relativité générale, ${\displaystyle \nabla _{i}T^{ij}=0}$. Fort de l'idée que la gravitation est une déformation de la géométrie de l'espace due à l'énergie du corps présent, Einstein chercha donc un tenseur géométrique ${\displaystyle \ G^{ij}}$ vérifiant la même égalité, pour pouvoir écrire ${\displaystyle \ \chi .T^{ij}=G^{ij}}$, où ${\displaystyle \ \chi }$ est une constante homogénéisant les dimensions. Son ami Marcel Grossmann lui indiqua, vers 1912, que l'on pouvait prendre ${\displaystyle \ G^{ij}=R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R}$, ce qui laissa Einstein incrédule[2]. En 1915, finalement, Einstein admit que c'était là le tenseur géométrique cherché, et par la suite, Élie Cartan démontra que c'était le seul vérifiant l'équation ${\displaystyle \nabla _{i}G^{ij}=0}$, à une constante additive près (qui donnera la constante cosmologique), et ne contenant que les dérivées premières et secondes des coefficients ${\displaystyle \ g_{ij}}$ de la métrique de l'espace (condition signifiant que position, vitesse et accélération suffisent pour décrire l'évolution de tout système physique, ce qui est une hypothèse héritée de Newton).

Mais l'histoire précise de la découverte de la relativité générale est riche de détails scientifiques et humains[3], et est sujet à controverses.

La relativité restreinte retrouve les résultats de la physique classique (hors gravitation) à la condition que les vitesses envisagées soient petites devant celle de la lumière.

Exemple de l'énergie

On montre ici comment l'expression relativiste de l'énergie cinétique, dans le cadre de la relativité restreinte, est approximativement égale à l'énergie cinétique classique quand la vitesse est très inférieure à celle de la lumière.

Pour l'énergie quand le corps est au repos par rapport à l'observateur ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}\ }$

Pour l'énergie quand le corps se déplace à la vitesse v par rapport à l'observateur ${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ }$

Quand la vitesse par rapport à l'observateur est non nulle, l'énergie dépasse l'énergie au repos d'une quantité définie comme étant l'énergie cinétique :

${\displaystyle T=E-E_{0}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ -\ mc^{2}\ }$

${\displaystyle T\approx mc^{2}\left((1-(-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})v^{2}/c^{2})-1\right)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}\ }$

On retrouve bien l'expression classique de l'énergie cinétique.

Isaac Newton retrouva la loi de la gravité de Galilée comme résultat approximatif, et seulement valable au niveau du sol terrestre, de sa gravitation universelle.

Albert Einstein retrouva la loi de la gravitation newtonienne comme approximation de la relativité générale dans le cas des champs faibles et des vitesses petites devant celle de la lumière. Et ce fut l'occasion de préciser une constante de la relativité générale.

Les théories de la gravitation post-einsteiniennes, jusqu'ici non confrontées à l'expérience, se veulent des généralisations de la relativité générale, en englobant aussi la physique quantique et parfois d'autres contraintes, permettant de retrouver chacune de ces deux théories comme des approximations dans leur domaine de validité respectif.

Le théorème d'Ehrenfest précise que la physique quantique permet de retrouver les résultats de la physique classique comme étant les moyennes d'observables.

L'équation de Klein-Gordon permet de retrouver les résultats de l'équation de Schrödinger de manière similaire à la relativité restreinte qui retrouve les résultats de la physique classique.

• Weidner, Richard T., and Sells, Robert L. (1980) Elementary Modern Physics. (ISBN 0-205-06559-7)

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