Pseudo-vecteur (mathématiques)

On note ${\displaystyle e^{i}}$ la forme linéaire définie par ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=1}$ si ${\displaystyle i=j}$ et ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=0}$ si ${\displaystyle i\neq j}$ c'est-à-dire ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$ où ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ est le tenseur de Kronecker. La base ${\displaystyle B^{*}=(e^{1},\cdots ,e^{n})}$ de l'espace dual ${\displaystyle E^{*}}$ est appelée base duale[1] de ${\displaystyle B}$. Tout changement de base dans ${\displaystyle E}$ induit automatiquement le changement de sa base duale.

La position des indices dans la base ${\displaystyle B^{*}}$ n'est qu'une convention d'écriture parmi d'autres pour distinguer les vecteurs des deux bases. On aurait pu écrire ${\displaystyle B^{*}=(e_{1}^{*},\cdots ,e_{n}^{*})}$ ou ${\displaystyle B^{*}=(\varepsilon _{1},\cdots ,\varepsilon _{n})}$ par exemple. La convention choisie est celle qui est adaptée à l'écriture tensorielle et à la convention de sommation d'Einstein que l'on utilisera systématiquement.

En cohérence avec la dénomination tensorielle, un vecteur est un tenseur de type (1,0) et est dit contravariant ; de même un covecteur est un tenseur de type (0,1) et est dit covariant. C'est une définition intrinsèque (qui ne fait pas appel aux bases) et, comme toute définition, elle ne nécessite aucune justification[2].

• La base ${\displaystyle B}$, constituée de vecteurs contravariants, est dite contravariante. Soit ${\displaystyle u}$ un vecteur ; ses coordonnées ${\displaystyle u^{i}}$ dans la base contravariante ${\displaystyle B}$ sont définies par ${\displaystyle u=u^{i}e_{i}}$ et sont appelées les coordonnées contravariantes de ${\displaystyle u}$. Dans ${\displaystyle u^{i}}$, l'indice ${\displaystyle i}$ est dite en position contravariante (position haute) car il se réfère à des coordonnées contravariantes. On vérifie que ${\displaystyle u^{i}=e^{i}(u)}$.

• La base ${\displaystyle B^{*}}$, constituée de vecteurs covariants, est dite covariante. Soit ${\displaystyle u}$ un covecteur ; ses coordonnées ${\displaystyle u_{i}}$ dans la base covariante ${\displaystyle B^{*}}$ sont définies par ${\displaystyle u=u_{i}e^{i}}$ et sont appelées les coordonnées covariantes de ${\displaystyle u}$. Dans ${\displaystyle u_{i}}$, l'indice ${\displaystyle i}$ est dite en position covariante (position basse) car il se réfère à des coordonnées covariantes. On vérifie que ${\displaystyle u_{i}=u(e_{i})}$.

Remarque : La position covariante ou contravariante d'un indice ne concerne que les coordonnées. En effet le vecteur ${\displaystyle e_{i}}$ est contravariant bien que l'indice ${\displaystyle i}$ soit en position basse. De même le covecteur ${\displaystyle e^{i}}$ est covariant bien que l'indice soit en position haute. Cela est simplement dû à la position des indices dans la convention d'Einstein.

Dans le cas où ${\displaystyle E}$ est un espace vectoriel euclidien, à tout vecteur ${\displaystyle u\in E}$ on fait correspondre la forme linéaire ${\displaystyle u^{\flat }\in E^{*}}$ définie par ${\displaystyle x\mapsto u\centerdot x}$ (où « ${\displaystyle \centerdot }$ » est le produit scalaire). L'application linéaire ${\displaystyle u\mapsto u^{\flat }}$ est un isomorphisme de ${\displaystyle E}$ sur ${\displaystyle E^{*}}$. On note ${\displaystyle \sharp }$ son isomorphisme réciproque[3] et on définit sur ${\displaystyle E^{*}}$ un produit scalaire (que l'on note encore « ${\displaystyle \centerdot }$ »), appelé produit scalaire dual[4], par ${\displaystyle (u,v)\mapsto u^{\sharp }\centerdot v^{\sharp }}$. Muni de ce produit scalaire, ${\displaystyle E^{*}}$ est un espace vectoriel euclidien et ces isomorphismes sont des isométries qui permettent d'identifier les espaces euclidiens ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle E^{*}}$. Dans ce cas, quand on parle d'un vecteur (sans préciser davantage) on parle indifféremment d'un élément de ${\displaystyle E}$ ou d'un élément de ${\displaystyle E^{*}}$ ; on ne fait donc plus la distinction entre vecteurs et covecteurs.

Comme les formes linéaires ${\displaystyle e^{i}}$ sont identifiées à des vecteurs de ${\displaystyle E}$, on a ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=e^{i}\!\centerdot e_{j}=\delta _{j}^{i}}$. Par exemple en dimension 3 on a ${\displaystyle e^{3}\!\centerdot e_{1}=e^{3}\!\centerdot e_{2}=0}$ et ${\displaystyle e^{3}\!\centerdot e_{3}=1}$. Par conséquent ${\displaystyle e^{3}=e'_{3}/\Vert e'_{3}\Vert ^{2}}$ où ${\displaystyle e'_{3}}$ est le projeté orthogonal de ${\displaystyle e_{3}}$ sur la droite orthogonale au plan engendré par les vecteurs ${\displaystyle e_{1}}$ et ${\displaystyle e_{2}}$.

On ne fait plus la distinction entre vecteur et covecteur c'est-à-dire que l'on ne fait plus la distinction entre vecteur contravariant et vecteur covariant. Par contre, comme la base ${\displaystyle B^{*}}$ est aussi une base de ${\displaystyle E}$, les coordonnées d'un vecteur peuvent être calculées aussi bien dans la base ${\displaystyle B}$ que dans la base ${\displaystyle B^{*}}$. Il faut donc toujours faire la distinction entre coordonnées covariantes et coordonnées contravariantes[5].

• Dans la base ${\displaystyle B}$ on a ${\displaystyle u=u^{i}e_{i}}$ et ses coordonnées contravariantes vérifient ${\displaystyle u^{i}=e^{i}\centerdot u}$.
• Dans la base ${\displaystyle B^{*}}$ on a ${\displaystyle u=u_{i}e^{i}}$ et ses coordonnées covariantes vérifient ${\displaystyle u_{i}=e_{i}\centerdot u}$.

Le produit scalaire défini sur ${\displaystyle E}$ est un cas particulier de métrique[6]. Son tenseur associé est un tenseur covariant[7] appelé tenseur métrique. De même le produit scalaire dual, définit sur ${\displaystyle E^{*}}$, est la métrique duale. Son tenseur associé est un tenseur contravariant appelé tenseur métrique dual.

On note ${\displaystyle g_{ij}}$ les coordonnées dans la base ${\displaystyle B}$ du tenseur métrique et ${\displaystyle g^{ij}}$ les coordonnées dans la base ${\displaystyle B^{*}}$ du tenseur métrique dual. Par définition des produits scalaires, on a les relations ${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\centerdot e_{j}}$ et ${\displaystyle g^{ij}=e^{i}\centerdot e^{j}}$. Ces tenseurs sont symétriques et on vérifie que ${\displaystyle e^{i}=g^{ij}e_{j}}$, ${\displaystyle \;e_{i}=g_{ij}e^{j}}$ et ${\displaystyle g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}}$. De plus, pour tout vecteur ${\displaystyle u}$ on a ${\displaystyle u_{i}=g_{ij}u^{j}}$ et ${\displaystyle u^{i}=g^{ij}u_{j}}$. Ces formules montrent que la matrice ${\displaystyle [g^{ij}]}$ est la matrice de changement de base de ${\displaystyle B}$ vers ${\displaystyle B^{*}}$ et que sa matrice inverse est ${\displaystyle [g_{ij}]}$.

Si ${\displaystyle u\in E}$ et ${\displaystyle v\in E}$ alors ${\displaystyle u\centerdot v=u^{i}e_{i}\centerdot v^{j}e_{j}=g_{ij}u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}=u^{i}v_{i}}$. Il est très inhabituel d'utiliser de cette manière les coordonnées issues de deux bases différentes, mais ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle B^{*}}$ ne sont pas indépendantes.

Par la suite il n'y a pas d'inconvénient à supposer que l'espace vectoriel est euclidien, le contexte permettant de savoir si la notion est utile ou non.

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel. Pour ${\displaystyle 2\leq p\leq n}$ on note ${\displaystyle A^{p}(E)}$ l'espace vectoriel des p-formes alternées définies sur ${\displaystyle E}$. On complète ces notations en posant ${\displaystyle A^{0}(E)=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle A^{1}(E)=E^{*}}$ et ${\displaystyle A^{p}(E)=\lbrace 0\rbrace }$ pour ${\displaystyle p>n}$. La dimension de l'espace vectoriel ${\displaystyle A^{p}(E)}$ est ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}}$ avec la convention ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}=0}$ si ${\displaystyle p>n}$. Les espaces vectoriels ${\displaystyle A^{p}(E)}$ et ${\displaystyle A^{n-p}(E)}$ ont donc la même dimension.

On note ${\displaystyle A(E)}$ la somme directe de ces espaces vectoriels, c'est-à-dire

${\displaystyle A(E)=A^{0}(E)\oplus A^{1}(E)\oplus A^{2}(E)\cdots \oplus A^{n}(E)}$

Les éléments de ${\displaystyle A(E)}$ sont appelés des formes extérieures et ceux de ${\displaystyle A^{p}(E)}$ des p-formes extérieures ou des p-vecteurs.

Le produit extérieur des covecteurs ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ est noté ${\displaystyle u\wedge v}$ et est défini pour tout ${\displaystyle x\in E}$ et tout ${\displaystyle y\in E}$ par

${\displaystyle u\wedge v:(x,y)\mapsto u(x)\ v(y)-v(x)\ u(y)}$

C'est une forme bilinéaire car elle est linéaire en ${\displaystyle x}$ et linéaire en ${\displaystyle y}$. Elle est de plus alternée car ${\displaystyle u\wedge v(x,x)=0}$ pour tout ${\displaystyle x\in E}$ et donc antisymétrique, c'est-à-dire que ${\displaystyle u\wedge v(y,x)=-u\wedge v(x,y)}$

On peut définir le produit extérieur ${\displaystyle \wedge }$ sur ${\displaystyle A(E)}$. Comme la définition formelle du produit extérieur est assez complexe[8], on se contentera d'en donner ses principales propriétés.

• le produit extérieur ${\displaystyle \wedge }$ est une application bilinéaire de ${\displaystyle A(E)\times A(E)}$ dans ${\displaystyle A(E)}$
• si ${\displaystyle \alpha \in A^{p}(E)}$ et ${\displaystyle \beta \in A^{q}(E)}$ alors ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in A^{p+q}(E)}$
• si ${\displaystyle \alpha \in A^{p}(E)}$ et ${\displaystyle \beta \in A^{q}(E)}$ alors ${\displaystyle \beta \wedge \alpha =(-1)^{p\,q}\alpha \wedge \beta }$
• le produit extérieur est associatif c'est-à-dire que ${\displaystyle \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )=(\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma }$ que l'on note alors plus simplement ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \wedge \gamma }$

Muni de cette loi, ${\displaystyle A(E)}$ est une algèbre extérieure.

Les éléments de ${\displaystyle A^{2}(E)}$ sont appelés des bivecteurs. D'autre part ${\displaystyle A^{n-1}(E)}$ est, tout comme ${\displaystyle E}$, de dimension ${\displaystyle n}$. Les éléments de ${\displaystyle A^{n-1}(E)}$ sont pour cela appelés des pseudo-vecteurs. Le préfixe pseudo signale seulement que ces vecteurs, bien qu'appartenant à un espace vectoriel de même dimension que ${\displaystyle E}$, ne sont pas des éléments de ${\displaystyle E}$. Dans le cas ${\displaystyle n=3}$, les pseudo-vecteurs sont donc des bivecteurs ; cette coïncidence n'a lieu que pour ${\displaystyle n=3}$.

Soit ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ deux covecteurs. Comme ${\displaystyle u\in A^{1}(E)}$ et ${\displaystyle v\in A^{1}(E)}$ alors ${\displaystyle u\wedge v\in A^{2}(E)}$. Avec le vocabulaire ci-dessus, ${\displaystyle u\wedge v}$ est donc un bivecteur. Dans le cas ${\displaystyle n=3}$ c'est aussi un pseudo-vecteur et tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux covecteurs.

Étant donnée ${\displaystyle B=(e_{1},\cdots ,e_{n})}$ une base de ${\displaystyle E}$, on a défini la base duale ${\displaystyle B^{*}}$ qui est donc la base canonique de ${\displaystyle A^{1}(E)=E^{*}}$ associée à ${\displaystyle B}$. Pour ${\displaystyle p>1}$, on peut aussi définir une base de ${\displaystyle A^{p}(E)}$ de façon naturelle (canonique) ; cependant, on ne peut définir aucun ordre naturel sur cette base.

Soit ${\displaystyle 1<p\leqslant n}$. Pour tout p-uplet ordonné ${\displaystyle I=(i_{1},\cdots ,i_{p})}$ vérifiant ${\displaystyle 1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{p}\leqslant n}$ on pose ${\displaystyle e^{I}=e^{i_{1}\cdots i_{p}}=e^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{p}}}$. Puisque ${\displaystyle e^{i}\in A^{1}(E)}$ alors ${\displaystyle e^{I}\in A^{p}(E)}$. Par exemple, ${\displaystyle e^{5}\wedge e^{1}\wedge e^{2}=e^{1}\wedge e^{2}\wedge e^{5}=e^{1\,2\,5}}$ et ${\displaystyle e^{5}\wedge e^{2}\wedge e^{1}=-e^{1}\wedge e^{2}\wedge e^{5}=-e^{1\,2\,5}}$. L'ensemble des p-vecteurs ${\displaystyle e^{I}}$ où ${\displaystyle I}$ est un p-uplet ordonné est une base de ${\displaystyle A^{p}(E)}$ notée ${\displaystyle \lbrace e^{I}\rbrace _{|I|=p}}$. C'est la base covariante associée à la base ${\displaystyle B}$ et tout changement de base dans ${\displaystyle E}$ induit automatiquement un changement de base dans ${\displaystyle A^{p}(E)}$. Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur ${\displaystyle \alpha }$ dans cette base sont appelées les coordonnées covariantes de ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle B}$ (il est clair que c'est un abus de langage car ${\displaystyle \alpha \notin E}$).

Pour ${\displaystyle n=3}$, la base covariante de ${\displaystyle A^{2}(E)}$ est ${\displaystyle \lbrace e^{12},e^{13},e^{23}\rbrace }$. Tout bivecteur ${\displaystyle \alpha \in A^{2}(E)}$ peut s'écrire (de manière unique) sous la forme ${\displaystyle \alpha =\alpha _{ij}e^{ij}}$ ce qui donne

${\displaystyle \alpha =\alpha _{12}e^{12}+\alpha _{13}e^{13}+\alpha _{23}e^{23}}$

car on doit sommer sur l'ensemble des couples ${\displaystyle (i,j)}$ possibles vérifiant ${\displaystyle i<j}$ (convention d'Einstein généralisée).

Dans le cas où ${\displaystyle E}$ est un espace euclidien, les vecteurs ${\displaystyle e_{i}}$ sont identifiés à des covecteurs. De la même manière, on peut alors poser ${\displaystyle e_{I}=e_{i_{1}\cdots i_{p}}=e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{p}}}$. La base constituée de ces p-vecteurs, notée ${\displaystyle \lbrace e_{I}\rbrace _{|I|=p}}$, est la base contravariante associée à ${\displaystyle B}$. Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur ${\displaystyle \alpha }$ dans cette base sont appelées les coordonnées contravariantes de ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle B}$.

Pour ${\displaystyle n=3}$, la base contravariante de ${\displaystyle A^{2}(E)}$ est ${\displaystyle \lbrace e_{12},e_{13},e_{23}\rbrace }$. Tout bivecteur ${\displaystyle \alpha \in A^{2}(E)}$ peut s'écrire (de manière unique) sous la forme ${\displaystyle \alpha =\alpha ^{ij}e_{ij}}$ ce qui donne

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{12}e_{12}+\alpha ^{13}e_{13}+\alpha ^{23}e_{23}}$

Remarque : Il existe un isomorphisme canonique (c'est-à-dire indépendant des bases) entre les bivecteurs et les tenseurs antisymétrique d'ordre 2. En général on distingue ces tenseurs suivant qu'ils sont covariants, contravariants ou mixtes. Dans le cas d'un espace euclidien, ces distinctions sont sans objet car on identifie ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle E^{*}}$. Cependant, même dans ce cas, il faut toujours faire la distinction entre les coordonnées contravariantes et covariantes car cela revient à indiquer dans quelle base (${\displaystyle B}$ ou ${\displaystyle B^{*}}$) les coordonnées sont calculées[5].

L'espace vectoriel ${\displaystyle A^{n}(E)}$ est, tout comme ${\displaystyle A^{0}(E)=\mathbb {R} }$, de dimension 1. Ses éléments sont pour cela appelés des pseudo-scalaires. Là encore, le préfixe pseudo signale simplement que les éléments de ${\displaystyle A^{n}(E)}$ ne sont pas des éléments de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Une forme volume sur ${\displaystyle E}$ est un élément non nul de ${\displaystyle A^{n}(E)}$. Comme cet espace est de dimension 1, la relation d’équivalence définie sur ${\displaystyle A^{n}(E)\setminus \{0\}}$ par

${\displaystyle \omega _{1}\ \sim \omega _{2}\iff \exists \lambda >0\quad \omega _{2}=\lambda \,\omega _{1}}$

permet de définir deux classes d’équivalence appelées orientations de ${\displaystyle E}$. L'espace vectoriel ${\displaystyle E}$ muni de l'orientation ${\displaystyle X}$ est noté ${\displaystyle E_{X}}$ et appelé espace vectoriel orienté[9]. Même si le plus souvent, en l'absence d'ambiguïté, on note encore ${\displaystyle E}$ l'espace vectoriel orienté, il est mathématiquement important de distinguer l'espace vectoriel ${\displaystyle E}$ de l'espace vectoriel orienté ${\displaystyle E_{X}}$ .

Soit ${\displaystyle B}$ une base de ${\displaystyle E_{X}}$ et ${\displaystyle \omega \in X}$ une forme volume. On dit que ${\displaystyle B}$ est directe (ou orientée positivement) si ${\displaystyle \omega (B)>0}$ et indirecte (ou rétrograde ou orientée négativement) si ${\displaystyle \omega (B)<0}$. Cela est indépendant de ${\displaystyle \omega \in X}$.

On peut remarquer que la définition mathématique ci-dessus de l'orientation est intrinsèque. Elle ne fait pas intervenir les bases qui, de ce point de vue, sont des éléments étrangers à la notion. Il existe cependant une propriété concernant les bases qui sert parfois de définition alternative. Soit ${\displaystyle B}$ une base de ${\displaystyle E}$ (espace non orienté). L'ensemble des formes volumes ${\displaystyle \omega }$ telles que ${\displaystyle \omega (B)>0}$ est une orientation. Cette orientation est appelée « orientation définie par ${\displaystyle B}$ ». Si on la note ${\displaystyle X}$ alors (par définition) ${\displaystyle B}$ est une base directe de l'espace orienté ${\displaystyle E_{X}}$.

En physique, on peut ainsi définir une orientation telle que les bases directes soient des bases orientées à droite[10]. Pour cela on choisit une base orientée à droite (par la règle de la main droite, par exemple). D'après ce qui précède, cela détermine une orientation pour laquelle la base est directe. Cette orientation est identique à celle déterminée par le tire-bouchon de Maxwell.

Dans le cas d'un espace euclidien, on dit que ${\displaystyle \omega \in A^{n}(E)}$ est un vecteur unitaire si et seulement s'il existe une base orthonormale de ${\displaystyle E}$ notée ${\displaystyle B}$ telle que ${\displaystyle \left|\omega (B)\right|=1}$. Les propriétés du déterminant montrent alors que cette égalité est vérifiée pour toute base orthonormale. Il n'existe que deux vecteurs unitaires, chacun appartenant à une orientation. Soit ${\displaystyle \eta }$ un vecteur unitaire ; l'ensemble des formes volumes ${\displaystyle \omega }$ telles que ${\displaystyle \omega \ \sim \eta }$ est une orientation et on note ${\displaystyle E_{\eta }}$ l'espace vectoriel euclidien orienté par cette orientation. Cette définition de ${\displaystyle \eta }$ coïncide avec celle du tenseur de Levi-Civita qui peut donc aussi être appelé forme volume unité ou unité pseudo-scalaire.

Le tenseur de Levi-Civita permet de définir une bijection (canonique au signe près) appelée loi étoile de Hodge qui met en dualité les espaces vectoriels ${\displaystyle A^{p}(E)}$ et ${\displaystyle A^{n-p}(E)}$. Ces espaces sont dits duaux l'un de l'autre, le contexte permettant de ne pas confondre avec l'espace dual ${\displaystyle E^{*}}$.

Soit ${\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ vecteurs de ${\displaystyle E_{\eta }}$. L'expression ${\displaystyle \eta (x_{1},\cdots ,x_{n})}$ est parfois notée ${\displaystyle [x_{1},\cdots ,x_{n}]}$ et porte alors le nom de produit mixte. En dimension 3 on a, d'après la définition du produit vectoriel, la relation

${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]=(x_{1}\times x_{2})\centerdot x_{3}}$

Cette formule est à l'origine de l'appellation « produit mixte ». Les propriétés d'antisymétrie de ${\displaystyle \eta }$ donnent des relations analogues par permutation circulaire sur les indices.

Si les vecteurs sont coplanaires le résultat est nul. Sinon sa valeur absolue est égale au volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs. Cela explique a posteriori le nom de « forme volume » donnée aux éléments de ${\displaystyle A^{n}(E)}$.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ un solide mobile indéformable et ${\displaystyle B=(e_{1},e_{2},e_{3})}$ une base quelconque[11] de ${\displaystyle E}$ liée à ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ Les vecteurs ${\displaystyle e_{i}}$ dépendent du temps mais les coordonnées du tenseur métrique dans cette base restent constantes. On note ${\displaystyle B^{*}=(e^{1},e^{2},e^{3})}$ sa base duale. Comme ${\displaystyle {\dfrac {d}{dt}}(e_{i}\centerdot e_{j})={\dfrac {d}{dt}}(g_{ij})=0}$ alors ${\displaystyle {\dfrac {de_{i}}{dt}}e_{j}+e_{i}{\dfrac {de_{j}}{dt}}=0}$. On note ${\displaystyle \alpha _{ij}={\dfrac {de_{i}}{dt}}\centerdot e_{j}}$. D'où ${\displaystyle \alpha _{ij}+\alpha _{ji}=0}$ et ${\displaystyle {\dfrac {de_{i}}{dt}}=\alpha _{ij}e^{j}}$ car les ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ sont les coordonnées covariantes de ${\displaystyle {\dfrac {de_{i}}{dt}}}$ dans la base ${\displaystyle B^{*}}$.

Si ${\displaystyle r}$ est un vecteur lié à ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ alors ${\displaystyle r=r^{i}e_{i}}$ où les ${\displaystyle r^{i}}$ ne dépendent pas du temps. D'où ${\displaystyle v={\dfrac {dr}{dt}}=r^{i}{\dfrac {de_{i}}{dt}}=r^{i}\alpha _{ij}e^{j}}$. Finalement

${\displaystyle v_{j}=\alpha _{ij}r^{i}}$

Il existe une forme bilinéaire alternée unique notée ${\displaystyle \alpha }$ telle que ${\displaystyle \alpha (e_{i},e_{j})=\alpha _{ij}}$ (puisque les ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ sont les coordonnées d'un tenseur, ${\displaystyle \alpha }$ ne dépend pas de la base ${\displaystyle B}$). Par conséquent ${\displaystyle \alpha \in A^{2}(E)}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle \alpha }$ est un bivecteur et aussi un pseudo-vecteur puisque la dimension de ${\displaystyle E}$ est égale à 3.

D'un point de vue théorique, le pseudo-vecteur ${\displaystyle \alpha }$ est l'outil adapté au problème mais il présente un double inconvénient. Tout d'abord, on ne travaille pas avec les objets eux-mêmes mais avec leurs coordonnées. Ensuite, il n'est pas facile de visualiser l'action d'un tel tenseur sur un schéma.

Le vecteur vitesse angulaire décrit la vitesse de rotation et l'axe de rotation instantanée. La direction du vecteur vitesse angulaire est celle de l'axe de rotation ; dans ce cas (sens antihoraire) le vecteur pointe vers le haut

On cherche un outil ne présentant pas ces inconvénients ; pour cela on a besoin que l'espace soit orienté (on n'en avait pas besoin jusque là). Le dual de Hodge de ${\displaystyle \alpha }$ est un vecteur et on pose ${\displaystyle \omega =\star \alpha }$ (où ${\displaystyle \star }$ est la loi étoile de Hodge). Les coordonnées de ${\displaystyle \omega }$ dans la base ${\displaystyle B}$ sont ${\displaystyle \omega ^{k}={\frac {1}{2}}\eta ^{ijk}\alpha _{ij}}$ où ${\displaystyle \eta }$ est le tenseur de Levi-Civita. On obtient ${\displaystyle \alpha _{ij}=\eta _{ijk}\omega ^{k}}$ et ${\displaystyle v_{j}=\alpha _{ij}r^{i}=\eta _{ijk}\omega ^{k}r^{i}=(\omega \times r)_{j}}$. D'où

${\displaystyle v=\omega \times r}$

L'avantage est immédiat. On travaille avec un vecteur, qui est un objet plus simple qu'un tenseur (ici un bivecteur) et la formule n'utilise pas les coordonnées. Mais il faut être conscient que l'on a introduit artificiellement l'orientation de l'espace dans un problème qui, au départ, n'en dépend pas. Une première fois pour définir le vecteur ${\displaystyle \omega }$, une seconde fois pour l'utiliser à l'aide du produit vectoriel. Le vecteur dual ${\displaystyle \omega }$ peut donc être considéré comme un simple intermédiaire de calcul qui a l'avantage de pouvoir être représenté graphiquement mais qui possède l'inconvénient de mal supporter les transformations, contrairement au pseudo-vecteur ${\displaystyle \alpha }$ (voir ci-dessous).

On reprend les notations précédentes. Soit ${\displaystyle h}$ une isométrie de ${\displaystyle E}$ indépendante du temps. Pour chaque élément défini sur ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ on note avec un « ' » l'élément correspondant sur ${\displaystyle {\mathcal {S'}}=h({\mathcal {S}})}$. Le plus souvent les éléments se correspondent à l'aide de l'isométrie, mais pas toujours.

On a ${\displaystyle r'=h(r)}$. Si ${\displaystyle B=(e_{1},e_{2},e_{3})}$ alors ${\displaystyle B'=(e'_{1},e'_{2},e'_{3})}$ est la base image de ${\displaystyle B}$ car ${\displaystyle e'_{i}=h(e_{i})}$. De même ${\displaystyle {B^{*}}'=(e'^{1},e'^{2},e'^{3})}$ est la base image de ${\displaystyle B^{*}}$ car ${\displaystyle e'^{i}=h(e^{i})}$. On a aussi ${\displaystyle v'=h(v)}$ et ${\displaystyle \;\alpha '=h(\alpha )}$. Mais pour ${\displaystyle \omega }$ on a ${\displaystyle \omega '=h(\omega )}$ si ${\displaystyle h}$ est directe et ${\displaystyle \omega '=-h(\omega )}$ si ${\displaystyle h}$ est indirecte.

Si l'isométrie est indirecte, le correspondant du vecteur dual ${\displaystyle \omega }$ est l'opposé de son image. En physique, on retrouve cette correspondance avec les vecteurs axiaux.

En dimension 3, les espaces vectoriels ${\displaystyle A^{2}(E)}$ et ${\displaystyle A^{1}(E)=E^{*}=E}$ sont duaux c'est-à-dire que chaque pseudo-vecteur est associé par la loi étoile de Hodge à un vecteur et réciproquement. Si ${\displaystyle \alpha }$ est un pseudo-vecteur, on note ${\displaystyle \star \alpha }$ son vecteur dual. De même si ${\displaystyle u}$ et un vecteur on note ${\displaystyle \star u}$ son bivecteur dual. Les relations tensorielles entre les coordonnées sont

${\displaystyle (\star \alpha )^{k}={\frac {1}{2}}\eta ^{ijk}\alpha _{ij}\quad }$ et ${\displaystyle \quad (\star u)_{ij}=\eta _{ijk}u^{k}}$

où ${\displaystyle \eta }$ est le tenseur de Levi-Civita. On a donc ${\displaystyle \star (\star u)=u\;}$ et ${\displaystyle \;\star (\star \alpha )=\alpha }$.

En dimension 3, tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux vecteurs. Le cas général se réduit donc à ce qui pourrait passer pour un cas particulier. Avec ${\displaystyle \alpha =u\wedge v}$ on obtient

${\displaystyle \star (u\wedge v)=u\times v}$

c'est-à-dire que le produit vectoriel est le vecteur dual du produit extérieur[13].

Démonstration simplifiée

La loi ${\displaystyle \star }$ de Hodge est définie dans le cas général de manière intrinsèque et assez complexe. Mais (à l'aide du symbole de Levi-Civita ${\displaystyle \epsilon }$) elle prend une forme particulièrement simple dans une base orthonormale directe ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ :
${\displaystyle \star e_{i_{1}\cdots i_{p}}=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{p}j_{1}\cdots j_{n-p}}\;e_{j_{1}\cdots j_{n-p}}}$ où ${\displaystyle \scriptstyle {(j_{1}\cdots j_{n-p})\,=\,(1\cdots n)\smallsetminus (i_{1}\cdots i_{p})}}$. Ce qui donne dans le cas ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle \star e_{12}=\epsilon _{123}\;e_{3}=e_{3},\quad }$ ${\displaystyle \star e_{13}=\epsilon _{132}\;e_{2}=-e_{2},\quad }$ ${\displaystyle \star e_{23}=\epsilon _{231}\;e_{1}=e_{1}}$

Comme

${\displaystyle {\begin{aligned}u\wedge v=&(u_{1}e_{1}+u_{2}e_{2}+u_{3}e_{3})\wedge (v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+v_{3}e_{3})\\=&(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})e_{12}+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})e_{13}+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})e_{23}\end{aligned}}}$

on obtient

${\displaystyle \star (u\wedge v)=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})e_{3}+(-u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})e_{2}+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})e_{1}}$

On reconnaît les coordonnées de ${\displaystyle u\times v}$ dans la base orthonormale directe ${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$.

Soit ${\displaystyle h}$ une isométrie de ${\displaystyle E}$. On note ${\displaystyle \det(h)}$ son déterminant. On a ${\displaystyle \det(h)=\pm 1}$ suivant que l'isométrie est directe ou indirecte.

• Pour le produit extérieur : ${\displaystyle h(u\wedge v)=h\,u\wedge h\,v}$[12]
• Pour le produit vectoriel : ${\displaystyle h(u\times v)=\det(h)\ h\,u\times h\,v}$

Démonstration

Pour tout vecteur ${\displaystyle t}$, on a

${\displaystyle {\begin{aligned}(h\,u\times h\,v)\centerdot t=&[h\,u,h\,v,t]\\=&\det(h)\,[u,v,h^{-1}t]\\=&\det(h)\,(u\times v)\centerdot h^{-1}t\\=&\det(h)\,(h^{-1})^{T}(u\times v)\centerdot t\end{aligned}}}$

D'où

${\displaystyle (h\,u\times h\,v)=\det(h)\,(h^{-1})^{T}(u\times v)}$

Dans le cas d'une isométrie, on a ${\displaystyle (h^{-1})^{T}=h}$ et donc

${\displaystyle h\,u\times h\,v=\det(h)\ h(u\times v)}$

En rouge, est représenté le produit vectoriel des deux vecteurs en noir. Sous une inversion d'espace chaque vecteur est changé en son opposé. En gris sont représentés les opposés des vecteurs en noir ; leur produit vectoriel est aussi égal au vecteur en rouge et non égal à son opposé.

On a donc le schéma suivant :

${\displaystyle {\begin{matrix}u\times v&\displaystyle \xrightarrow {\pm h} &h\,u\times h\,v\\{\Big \uparrow }\star &&{\Big \uparrow }\star \\u\wedge v&\displaystyle \xrightarrow {h} &h\,u\wedge h\,v\end{matrix}}}$

Lorsque l'on transforme un bivecteur et son vecteur dual par une isométrie indirecte, le dual de l'image et l'image du dual sont des vecteurs opposés. Ce schéma ne fait que mettre en évidence la correspondance entre les deux vecteurs duaux ; il ne modifie pas l'image de ${\displaystyle u\times v}$ qui est toujours ${\displaystyle h(u\times v)}$ et non ${\displaystyle h(u)\times h(v)}$.

En particulier si ${\displaystyle h}$ est l'inversion de l'espace[14], alors ${\displaystyle \det(h)=-1}$ et l'opposé du produit n'est pas le produit des opposés. Cette relation n'a rien d'extraordinaire[15] et ne reflète pas un caractère "spécial" du produit vectoriel. Elle est, par exemple, vérifiée dans les réels : ${\displaystyle 3\times 5=15}$ mais ${\displaystyle (-3)\times (-5)\neq -15}$.

Dans l'espace vectoriel des matrices carrées ${\displaystyle (n,n)}$, on peut définir deux produits.

• le premier, noté " ${\displaystyle *}$ " ou (le plus souvent) par une absence de signe, correspond au produit matriciel usuel : ${\displaystyle X*Y}$ ou ${\displaystyle XY}$
• le second, noté ${\displaystyle [\ ,\ ]}$, est le crochet de Lie : ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Il est à remarquer que le sous espace vectoriel des matrices antisymétriques n'est pas stable pour le produit usuel mais qu'il est stable pour le crochet de Lie. C'est-à-dire que si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont antisymétriques alors ${\displaystyle [X,Y]}$ est aussi antisymétrique.

Soit ${\displaystyle E}$ un espace euclidien et ${\displaystyle B=(e_{1},e_{2},e_{3})}$ une base orthonormale directe de ${\displaystyle E}$. Comme ${\displaystyle B^{*}=B}$, on ne fait plus la distinction entre covariant et contravariant et la position des indices n'a plus aucune importance. On note ${\displaystyle (e_{23},e_{13},e_{12})}$ la base canonique de ${\displaystyle A^{2}(E)}$, c'est-à-dire de l'espace vectoriel des pseudo-vecteurs (ou bien ici des bivecteurs). Par rapport à leurs bases respectives, un pseudo-vecteur et son vecteur dual peuvent être représentés par des matrices : une matrice (3,1) pour le vecteur et une matrice (3,3) antisymétrique pour le pseudo-vecteur.

Par rapport à leur bases respectives, un pseudo-vecteur et son vecteur dual ont presque[16] les mêmes coordonnées et les matrices se correspondent de façon simple. Par exemple si ${\displaystyle x=x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}}$ alors ${\displaystyle \star x=x_{1}\,e_{23}-x_{2}\,e_{13}+x_{3}\,e_{12}}$ et donc ${\displaystyle \star x_{23}=x_{1},\star x_{13}=-x_{2},\star x_{12}=x_{3}}$. Les matrices correspondantes sont donc
${\displaystyle [x]={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}}$ et ${\displaystyle [\star x]={\begin{bmatrix}0&x_{3}&-x_{2}\\-x_{3}&0&x_{1}\\x_{2}&-x_{1}&0\\\end{bmatrix}}}$
Pour des raisons pratiques (cf les formules ci-dessous) on considère aussi la matrice transposée ${\displaystyle Q_{x}=[\star x]^{T}=-[\star x]}$ appelée la représentation antisymétrique de ${\displaystyle x}$. Ces deux représentations sont utilisées ; par exemple, elles sont présentes comme sous matrices du tenseur de Maxwell selon la signature de la métrique.

On peut vérifier que

• ${\displaystyle \quad [u\times v]=Q_{u}\ [v]}$ : matrice ${\displaystyle *}$ vecteur colonne = vecteur colonne
• ${\displaystyle \quad [u\wedge v]={\big [}\ [\star u],[\star v]\ {\big ]}=\left[Q_{u},Q_{v}\right]}$ : ${\displaystyle {\big [}}$matrice antisymétrique, matrice antisymétrique${\displaystyle {\big ]}}$ = matrice antisymétrique
• ${\displaystyle \quad \exp(Q_{u})=I+{\big (}\sin \parallel u\parallel {\big )}{\frac {Q_{u}}{\parallel u\parallel }}+(1-\cos \parallel u\parallel )\left({\frac {Q_{u}}{\parallel u\parallel }}\right)^{2}}$ (cf. Exponentielle d'une matrice). C'est donc une matrice de rotation. Plus précisément, l'axe de rotation est de direction ${\displaystyle u}$ et l'angle de rotation (en radians) est égal à ${\displaystyle \parallel u\parallel }$.

Remarque : Si la base n'est pas orthonormale ou même seulement indirecte, alors les coordonnées ne sont plus les mêmes et la correspondance ci-dessus n'est plus valable. Par exemple, rien de changé dans l'expression du produit extérieur (pseudo-vecteur) mais pour le produit vectoriel (vecteur dual) l'expression n'est plus aussi simple. La représentation matricielle n'a alors plus aucun intérêt.