Noms des grands nombres

En 1475, le mathématicien français Jehan Adam (en) décrivit bymillion et trimillion dans ce qui semble être la description d'un boulier, leur donnant leur usage moderne (suivant l'échelle longue) de 10¹² et 10¹⁸, dans son manuscrit en français médiéval Traicté en arismetique pour la practique par gectouers[3]^,[4]^,[5].

« … item noctes que le premier greton dembas vault ung, le second vault  [sic] cent, le quart vult mille, le Ve vault dix M, le VIe vault cent M, le VIIe vault Milion, Le VIIIe vault dix Million, Le IXe vault cent Millions, Le Xe vault Mill Millions, Le XIe vault dix mill Millions, Le XIIe vault Cent mil Millions, Le XIIIe vault bymillion, Le XIIIIe vault dix bymillions, Le XVe vault  [sic] cent bymillions, Le XVIe vault mil bymillions, Le XVIIe vault dix Mil bymillions, Le XVIIIe vault cent mil bymillions, Le XIXe vault trimillion, Le XXe vault dix trimillions … »

Page sur laquelle Chuquet fit la première description d'une méthode de dénomination pour zillions.

Peu après, Nicolas Chuquet écrivit en 1484 un livre, Triparty en la science des nombres[6]^,[7]^,[8], où l'on trouve le premier exposé de l'usage moderne de grouper les grands nombres par paquets de six chiffres, qu'il séparait par des « virgules supérieures » (les noms employés par Chuquet ne sont pas tout à fait les noms modernes).

« Ou qui veut le premier point peult signiffier million Le second point byllion Le tiers poit tryllion Le quart quadrillion Le cinq^e quyllion Le six^e sixlion Le sept.^e septyllion Le huyt^e ottyllion Le neuf^e nonyllion et ainsi des ault'^s se plus oultre on vouloit preceder. Item lon doit savoir que ung million vault mille milliers de unitez, et ung byllion vault mille milliers de millions, et [ung] tryllion vault mille milliers de byllions, et ung quadrillion vault mille milliers de tryllions et ainsi des aultres : Et de ce en est pose ung exemple nombre divise et punctoye ainsi que devant est dit, tout lequel nombre monte 745324 tryllions 804300 byllions 700023 millions 654321. Exemple : 7'453248'043000'700023'654321. »

Cependant, l'ouvrage de Chuquet ne fut pas publié de son vivant. Une bonne partie en fut copiée par Estienne de La Roche dans un ouvrage qu'il publia en 1520, L'arismetique[6].

C'est à Chuquet que l'on attribue l'invention du système, mais les premiers termes existaient donc avant lui :

• les mots bymillion et trimillion apparaissent en 1475 dans le manuscrit de Jehan Adam ;
• le terme million existait avant Adam et Chuquet. C'est un mot d'origine probablement italienne, millione, forme intensifiée du mot mille : un million est étymologiquement un gros millier, rappelant les unités de second ordre d'Archimède ;
• la manière dont Adam et Chuquet présentent ces termes suggère qu'ils décrivent un usage préexistant, plutôt qu'une invention personnelle. Il est probable que des termes comme billion et trillion étaient déjà connus à cette époque, mais que Chuquet (expert dans l'art de manier les exposants) en a généralisé le système, inventant les noms correspondant aux puissances plus élevées.

Cette description est celle qui correspond au système dit de l'échelle longue, où les préfixes correspondent aux puissances du million. Le bymillion de Adam (byllion pour Chuquet) correspond donc à 10¹², et le trimillion / tryllion vaut 10¹⁸.

Chuquet ne précisa que les dix premiers préfixes ; l'extension de son système aux nombres supérieurs a toujours provoqué des variantes dans les solutions retenues pour adapter les noms latins au suffixe -llion.

Le système de Nicolas Chuquet accole un préfixe bi-, tri-, etc. au suffixe -llion (originellement -million), pour former les noms d'unité successifs au-delà du million. Dans le système originel, dit échelle longue, chaque unité vaut un million de fois (10⁶ fois) l'unité précédente. Ainsi un trillion est la puissance troisième du million.

Dans l'échelle longue, on nomme également les puissances de mille intermédiaires avec le suffixe -illiard, sur le modèle des noms en -illions : un X-illiard vaut mille X-illions. Cet ajout ultérieur au système de Chuquet n'est pas indispensable : l'usage britannique traditionnel (supplanté depuis le XX^e siècle par l'usage américain de l'échelle courte) se contente de dire, par exemple, deux mille billions plutôt que deux billiards.

En échelle longue, ces dix unités permettent de compter jusqu'à 10⁶⁶ (exclus), ce qui suffit largement aux usages physiques normaux. Un prolongement est recommandé en 1948 à l'occasion de la neuvième Conférence générale des poids et mesures, mais l'idée est restée sans suite car les préfixes du Système international d'unités sont plus commodes et évitent un arbitrage entre échelles longue et courte.

De nos jours, sous l'influence américaine, les pays anglo-saxons tendent à réinterpréter ces noms selon un système incompatible et moins régulier, l'échelle courte, où un « billion » vaut un milliard (10⁹) et un « trillion » vaut un billion (10¹²). Au contraire, en France, un décret de 1961[9] rétablit officiellement l'usage de l'échelle longue.

Les noms et leur orthographe n'ont pas toujours été stabilisés. Sous la plume de Chuquet, on trouve bymilion/byllion, trimillion/tryllion, quadrillion, quillion, sixlion… Au XV^e siècle, Jacques Peletier du Mans (qui lui-même attribue cet usage à Guillaume Budé) écrit milliart pour signifier un million de millions (10¹²) ; au XVII^e siècle, la valeur du milliard est réduite à mille millions[10]. Plus récemment, le décret français de 1961 introduit l'orthographe quatrillion au lieu du traditionnel quadrillion sans que l'on puisse savoir si c'est un changement délibéré ou une coquille.

Nicolas Chuquet n'a pas précisé de noms au-delà du rang 10. John Horton Conway, Richard Guy et Allan Wechsler[11] proposent (en anglais) une extension pour les rangs supérieurs. Pour les rangs jusqu'à 10, leur nomenclature reprend les noms de Chuquet, largement conventionnels. Pour les rangs de 10 à 999, ils proposent un système de dérivation systématique du nom qui s'efforce d'imiter le nom en langue latine du rang correspondant.

La méthode pour nommer le rang consiste à accoler jusqu'à trois radicaux indiquant respectivement son chiffre des unités, son chiffre des dizaines et son chiffre des centaines. Les chiffres sont ainsi énoncés dans l'ordre contraire du français. Quand un chiffre vaut zéro, on omet le radical correspondant. Par exemple, avec cette construction, un 421-illion (soit 1 000 000⁴²¹ selon l'échelle longue) s'appelle un unvigintiquadringentillion.

Les radicaux à combiner sont donnés dans le tableau ci-dessous (les tirets ne font pas partie du nom de nombre).

Des consonnes de liaison s'insèrent entre certaines paires de radicaux : on insère une lettre s (respectivement x, m, n) entre un radical suivi dans ce tableau de l'exposant ^s (respectivement ^x, ^m, ⁿ) et un radical précédé par ce même exposant. Le radical tre- prend également une lettre s devant un radical indiqué par ^x. Ainsi :

• 103 = trescenti (à ne pas confondre avec 300 = trecenti) et 303 = trestrecenti ;
• 106 = sexcenti (à ne pas confondre avec 600 = sescenti) et 306 = sestrecenti ;
• 87 = septemoctoginta et 107 = septencenti ;
• 89 = novemoctoginta et 109 = novencenti.

De plus, les dizaines à partir de la troisième dizaine se terminent par un a lorsqu'elles sont suivies d'une centaine (par exemple le 130-illion se dit trigintacentillion mais par un i lorsqu'elles sont immédiatement suivies du suffixe -llion (par exemple le 30-illion se dit trigintillion).

Pour les rangs jusqu'à 20, la nomenclature systématique de Conway, Guy et Wechsler diffère légèrement de certains noms ad hoc souvent donnés par les dictionnaires de langue anglaise. Selon Olivier Miakinen, ces différences sont justifiées par une plus grande conformité à la langue latine, à l'exception de quinquadecillion qui ne trouverait sa justification ni en latin, ni en anglais, et devrait se nommer quindecillion ; ainsi la racine quinqua- devrait plutôt être quin- (mais quinquaginta- serait inchangée)[12].

Conway, Guy et Wechsler ont formulé leur système pour la langue anglaise. Certains auteurs[14]^,[12] proposent de l'adapter au français simplement :

• en ajoutant un accent aigu sur certains radicaux (déci-, tré-, sé-, septé-, nové-, si non suivis d'une consonne de liaison) ;
• et optionnellement en remplaçant le quadrillion de Chuquet par quatrillion, si l'on veut se conformer au décret français de 1961 (voir plus haut) en dépit de l'usage établi.

Dans le même livre, les auteurs proposent de construire comme suit le radical latin pour un rang N supérieur ou égal à mille.

1. Regrouper les chiffres de N par blocs de trois ;
2. Utiliser le codage précédent pour chacun des blocs de trois chiffres, ou ni si les trois chiffres sont nuls ;
3. Intercaler lli entre chaque bloc ainsi obtenu.

Ainsi, avec cette méthode, un (3 000 102)-llion s'appelle un trillinilliduocentillion (tri-lli-ni-lli-duo-centi-lli-on).

Ce système permet de nommer n'importe quel nombre entier, aussi grand soit-il.

Savoir nommer les nombres à un chiffre, de un à neuf, ne permet pas de nommer la dizaine, premier nombre à deux chiffres. Au premier ordre, les nombres des dizaines sont généralement de forme irrégulière, mais par exemple réguliers en chinois où l'on dit simplement « dix, deux-dix, trois-dix... neuf-dix ». Il suffit (en théorie) d'une seule nouvelle unité pour doubler le nombre de chiffres des nombres exprimables.

Savoir nommer les nombres à deux chiffres ne permet pas de nommer la centaine, premier nombre à trois chiffres. Ici encore, une nouvelle unité, « cent », doit être introduite au deuxième ordre pour nommer la suite. L'unité suivante dans le langage courant, « mille », est en réalité inutile, puisque le nombre de centaines peut être énoncé par un nombre à deux chiffres. De fait, il est courant de dire « dix-sept cent quatre-vingt neuf » pour 1789. L'unité « cent » permet en réalité de nommer tous les nombres à quatre chiffres, mais ne permet pas de nommer dix-mille.

De nombreux langages ont un nom distinct pour nommer 10 000. Les Chinois disposent de 万 (ou 萬), les Grecs disposaient de μυριάς qui donne en français la myriade, de même sens. De même que précédemment, la myriade est une unité de troisième ordre, qui permet de nommer tous les nombres de huit chiffres, ce qui épuise les besoins quotidiens.

Dans ce système à myriade, les chiffres d'un nombre sont regroupés suivant une hiérarchie binaire. Il n'est besoin d'une unité d'ordre n supplémentaire que pour lire des nombres dont le nombre de chiffres est supérieurs à 2ⁿ, et cet ordre permet de lire des nombres jusqu'à 2ⁿ⁺¹-1 chiffres. La valeur d'un nombre énoncé se détermine de manière récursive :

• on identifie l'unité de plus grand ordre, n ;
• on évalue la valeur de ce qui vient avant cette unité, au plus d'ordre n-1 ;
• on multiplie ce résultat par la valeur de l'unité, soit ${\displaystyle 10^{(2^{n-1})}}$ ;
• on ajoute à ce résultat la valeur de ce qui vient après l'unité.

Ce système à myriade peut être prolongé.

Un des premiers exemples connus est le décompte que fit Archimède du nombre de grains de sable que pouvait contenir l'Univers, dans L'Arénaire (Ψάμμιτης). Pour cela, il généralisa le système de numération grec, dont le terme le plus élevé s'appelait la myriade (10⁴), ce qui permettait donc aux Grecs de compter jusqu'à 99 999 999 (dans le système grec, neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf myriades neuf mille neuf cent nonante-neuf, soit 10⁸-1, la myriade de myriades n'ayant pas de nom).

Archimède appela ces nombres nommables en grec courant des « nombres de premier ordre », c'est-à-dire les nombres immédiatement accessibles dans le système grec. Il appela le premier nombre innommable dans ce système, la myriade de myriade, soit 10⁸, l'unité de base des « nombres de deuxième ordre ». En prenant ce nombre comme nouvelle unité, Archimède était capable, dans la numération grecque, de nommer 99 999 999 de ces nombres « de deuxième ordre », donc de compter jusqu'à 10⁸ × 10⁸ – 1 = 10¹⁶–1, c'est-à-dire 99 999 999 du second ordre et 99 999 999, plus un.

Le nombre suivant, innommable à l'ordre deux, est le premier nombre du « troisième ordre », parce qu'inaccessible à l'ordre deux. Ce nombre est à son tour pris comme l'unité des « nombres de troisième ordre », et ainsi de suite. Archimède continua sa construction logique pour tous les « ordres » qui pouvaient être nommés en grec, c’est-à-dire jusqu'au nombre « d'ordre 99 999 999 », fin naturelle de cette première série de désignations. Mais, comment nommer le nombre suivant, soit ${\displaystyle \scriptstyle \left(10^{8}\right)^{\scriptscriptstyle \left(10^{8}\right)}=10^{8\;\times \;10^{8}}}$ ?

Archimède prolongea cette construction en prenant à nouveau ce nombre comme unité de base d'un superordre, ce qui lui permit d'étendre le système de dénomination jusqu'à

${\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{\left(10^{8}\right)}\right)^{\left(10^{8}\right)}=10^{8\;\times \;10^{16}}}$.

L'ordre de grandeur de ce superordre est incroyablement immense. S'agissant de rendre compte des états physiques du moindre des plus petits volumes d'espace-temps ayant un sens physique, l'hypothèse des grands nombres exprimée en terme d'unité de Planck montre que le nombre de « grains de Planck » (voxel élémentaire, soit volume de Planck x temps de Planck) à examiner, pour rendre compte de tout l'Univers observable et de toute son histoire (à une précision par nature inaccessible à la mesure), n'est au plus « que » de l'ordre de 10²⁴⁰, c'est-à-dire qu'il est physiquement impossible d'observer quelque chose de plus nombreux. En comparaison, la base du premier superordre d'Archimède, 10^{800 000 000}, dépasse ce nombre d'un facteur 10^{799 999 760}.

À ce point, Archimède se servit de ce système de désignation pour estimer le nombre de grains de sable que pouvait contenir l'Univers, parce que « innombrable comme les grains de sable » représentait pour les Grecs l'exemple archétypal de quelque chose qui ne pouvait pas être compté. Il trouva comme ordre de grandeur seulement « mille myriades du huitième ordre » (soit 10⁶³, ou 1 décilliard). Dans le monde grec, le second ordre n'était donc pas nécessaire.

Proposé par Donald E. Knuth, ce système est une autre manière de généraliser les myriades grecques: au lieu que chaque « ordre de grandeur » corresponde à un regroupement de quatre chiffres, comme pour Archimède, Knuth considère que chaque ordre de grandeur peut avoir deux fois plus de chiffres que le précédent.

Au-delà des noms où l'on reconnaît la présence du « y » caractéristique, il utilise des séparateurs différents pour des groupes de 4, 8, 16, 32 ou 64 chiffres (respectivement la virgule, le point-virgule et les deux points, l'espace et l'apostrophe ; le séparateur décimal reste le point dans cette notation). Ils sont formés sur des puissances de deux successives des puissances de dix mille (myriade). Ce système permet d'écrire et nommer des nombres énormes (le premier grand nombre qui ne peut être exprimé avec les dénominations classiques est l'octyllion, la mille-vingt-quatrième puissance de la myriade). Toutefois, le nom « myriade » reste le plus connu car il correspond à une dénomination historique.

Toutefois, les noms sont rarement utilisés car ils sont souvent homonymes et homophones d’autres nombres (y compris en anglais où ces noms ont été définis), et créent de nouvelles ambiguïtés avec les échelles courtes et longues.

Proposé par Russ Rowlett, basé sur les préfixes numériques grecs, et les puissances de mille :

Le mathématicien américain Edward Kasner introduit dans une publication de 1940, Mathematics and the Imagination (« Les mathématiques et l'imagination »), les termes gogol et gogolplex inventés par son neveu de huit ans[15].

Par la suite, Conway et Guy suggèrent comme extension qu'un N-plex corresponde par convention à 10^N[11]. Avec ce système, un gogol-plex vaut bien 10^gogol et un gogolplexplex vaut 10^gogolplex.

D'autres auteurs proposent les formes gogolduplex, gogoltriplex, etc., pour désigner respectivement 10^gogolplex, 10^gogolduplex, et ainsi de suite.

Les Chinois disposent classiquement des unités de un à neuf, puis des marqueurs dix (十, shí ), cent (百, bǎi), mille (千, qiān) et myriade (万, wàn). Ils présentent la particularité de compter ensuite régulièrement par myriades (dix mille = 萬, dernière unité régulière). Dans cette langue, les tranches supérieures s'établissent de quatre en quatre chiffres, au lieu de trois en trois (échelle courte) ou six en six (échelle longue) comme dans les langues occidentales. Ces unités et marqueurs permettent de compter jusqu'à 10⁸, soit cent millions, ce qui est largement suffisant pour les besoins courants.

De manière consensuelle, au-delà de mille, les douze ordres des grandes quantités correspondent à la série suivante[16] :

1. 萬/万 : la myriade, la troupe militaire des « scorpions » ;
2. 億/亿 : autant qu'il vous plaira ;
3. 兆 : un nombre de craquelures « très nombreuses », sur une surface argileuse craquelée ;
4. 京 經/经 : une accumulation artificielle (volontaire), un grand nombre ;
5. 垓 : probablement, la fin亥 de la terre 土, la levée de terre qui marque une frontière ;
6. 秭 : les gerbes de céréale récoltées ;
7. 穰 壤 : la récolte de céréales ;
8. 溝/沟 : eau qui se déverse ;
9. 澗/涧 : cours d'eau dans un ravin étroit ;
10. 正 : droit, parfait ;
11. 載/载 remplir, terminer ;
12. 極 : achèvement, extrême.

Cette série de grande quantité fait partie des nombreuses séries chinoises de dix ou douze termes, séquentielles ou cycliques, et a un sens littéraire plus qu'arithmétique : chaque ordre est consensuellement « encore plus grand » que le précédent, mais sans que cette progression soit numériquement déterminée. Au-delà des nombres concrets permettant de compter des choses, ce sont des nombres supra-naturels que le commun des mortels n'utilise pas. L'interprétation de ces ordres des grandes quantités a été de ce fait variable.

• L'interprétation usuelle moderne est que chaque ordre désigne l'un des blocs de quatre chiffres, et est donc une myriade de fois le précédent. Les unités progressent donc de 10⁴ en 10⁴, chaque unité des grandes quantités permettant de désigner l'un des blocs de quatre chiffres.
• Pour l'interprétation médiévale minimaliste, chaque caractère a simplement la valeur du précédent multiplié par dix. La série prolonge donc simplement celle des « dix, cent, mille », sans solution de continuité pour de grandes unités.
• Une autre interprétation médiévale considère (comme actuellement) que 億 vaut 10⁸, mais est le véritable point de départ des ordres de grandes quantités, système dans lequel 萬 n'est qu'un jalon intermédiaire dans une lecture par blocs de huit chiffres. Dans ce système, comme actuellement, 億 n'est pas supra-naturel mais peut avoir des applications pratiques.
• Enfin, une interprétation de type « système d'Archimède » considère que chaque ordre est le carré de l'ordre précédent.

En réalité, seuls les deux premiers termes sont d'usage effectif. Les caractères chinois pour les puissances de 10 000 au-delà de 100 millions (亿 ; yì) sont très rarement utilisés : pour 10¹⁶, on préfère utiliser 亿亿 (yì yì) ou « cent millions de fois cent millions » plutôt que 京 (jīng) qui signifie « capitale » pour le Chinois moyen. « Un » se dit « yī » et 100 millions se dit « yì ».

Il existe aussi un système de numération folklorique pour les très grands nombres ; par exemple, 不可説不可説不可説 (« indicible-indicible-indicible ») représente 10^{54 925 173 615 192 502 615 548 162 549 221 958 154}.

• Numération indienne
• Ordre de grandeur
• Notation scientifique
• Préfixes du Système international d'unités
• Échelles longue et courte
• Nombres en français
• Liste de nombres
• Liste de grands nombres
• Numération indienne, incluant notamment des grands nombres (lakh, crore...)
• Nicolas Chuquet
• Jacques Peletier du Mans
• Donald Knuth
• Notation des puissances itérées de Knuth
• Hiérarchie de croissance rapide

• Liste des googolismes (grands nombres).
• (en) How high can you count? par Landon Curt Noll (en).

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