Seconde quantification

L'équation relativiste donnant l'énergie ${\displaystyle E}$ de la particule de masse ${\displaystyle m}$ et de charge électrique nulle en fonction de sa quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ s'écrit :

${\displaystyle E^{2}\ =\ p^{2}\,c^{2}\ +\ m^{2}\,c^{4}}$

En appliquant une première fois les règles de la quantification canonique issues de la mécanique quantique, on obtient l'équation de Klein-Gordon pour la fonction d'onde ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ :

${\displaystyle -\ \hbar ^{2}\ {\frac {{\partial }^{2}\Phi ({\vec {r}},t)}{{\partial }t^{2}}}\ =\ -\ \hbar ^{2}\,c^{2}\ \Delta \ \Phi ({\vec {r}},t)\ +\ m^{2}\,c^{4}\ \Phi ({\vec {r}},t)}$

Cette équation se réécrit sous la forme suivante :

${\displaystyle \left(\ \Box \ +\ {\frac {m^{2}\,c^{2}}{\hbar ^{2}}}\ \right)\ \Phi ({\vec {r}},t)\ =\ 0}$

où ${\displaystyle \Box }$ représente l'opérateur d'alembertien :

${\displaystyle \Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {{\partial }^{2}~~}{{\partial }t^{2}}}\ -\ \Delta .}$

Si l'on a considéré jusqu'à présent que ${\displaystyle \Phi }$ était la fonction d'onde de la particule, on peut également la considérer comme un champ scalaire réel se propageant dans le vide, l'équation de Klein-Gordon étant son équation de propagation.

Supposons pour simplifier que la particule soit confinée dans une grande boîte de volume ${\displaystyle V}$ fini. Le champ scalaire ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ admet alors un développement en série de Fourier[3]. Notons :

• ${\displaystyle \omega }$ la variable conjuguée au temps ${\displaystyle t}$ : ${\displaystyle \omega }$ est la pulsation.
• ${\displaystyle {\vec {k}}}$ le vecteur conjugué à la position ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est le vecteur d'onde.

Les modes propres sont les exponentielles :

${\displaystyle f({\vec {r}},t)\ =\ f_{0}\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\omega t\,+\,\mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$

qui vérifient l'équation de Klein-Gordon :

${\displaystyle \left(\ \Box \ +\ {\frac {m^{2}\,c^{2}}{\hbar ^{2}}}\ \right)\,f({\vec {r}},t)\ =\ 0\quad \Longrightarrow \quad \left(\ -\ {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\,+\,k^{2}\,+\,{\frac {m^{2}\,c^{2}}{\hbar ^{2}}}\ \right)\,f({\vec {r}},t)\ =\ 0}$

On doit donc avoir la relation de dispersion :

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\ =\ k^{2}\,+\,{\frac {m^{2}\,c^{2}}{\hbar ^{2}}}}$

Donc, si l'on se donne un vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$, il lui correspond deux modes propres de pulsations respectives :

${\displaystyle \omega _{\pm }(k)\ =\ \pm \ {\sqrt {\ c^{2}\,k^{2}\,+\,{\frac {m^{2}\,c^{4}}{\hbar ^{2}}}\ }}}$

Le développement en série de Fourier du champ scalaire ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ peut donc s'écrire comme une somme sur tous les vecteurs d'ondes possibles[4] :

${\displaystyle \Phi \left({\vec {r}},t\right)=\sum _{\vec {k}}\left[A_{+}({\vec {k}})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{+}({\vec {k}})t}+A_{-}({\vec {k}})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{-}({\vec {k}})t}\right]\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\vec {k}}.{\vec {r}}}+c.c.,}$

où ${\displaystyle c.c.}$ désigne le complexe conjugué.

La procédure de seconde quantification consiste à remplacer les coefficients complexes des modes de Fourier du développement du champ scalaire par des opérateurs abstraits :

• ${\displaystyle {\hat {a}}_{\vec {k}}}$, appelé opérateur d'annihilation d'un quantum d'impulsion ${\displaystyle \hbar {\vec {k}}}$.
• ${\displaystyle {\hat {a}}_{\vec {k}}^{\dagger }}$, appelé opérateur de création d'un quantum d'impulsion ${\displaystyle \hbar {\vec {k}}}$.

Ces opérateurs obéissent par définition à la règle de commutation canonique :

${\displaystyle \left[\ {\hat {a}}_{\vec {k'}},\ {\hat {a}}_{\vec {k}}^{\dagger }\ \right]\ =\ \delta _{{\vec {k}},{\vec {k'}}}\ {\hat {1}}.}$

Le champ scalaire de spin zéro est donc un champ bosonique.

Le formalisme de seconde quantification est intimement relié à la théorie du problème à N corps. Si on considère un ensemble de N systèmes quantiques (tels que des atomes ou des particules), chacun de ces systèmes possède un spectre d'énergie, c'est-à-dire que chacun de ces systèmes peut se trouver dans un certain état quantique d'énergie donnée. La théorie quantique du problème à N corps travaille dans un espace vectoriel:

${\displaystyle H^{N}={\mathcal {H}}\bigotimes ...\bigotimes {\mathcal {H}}}$

qui est un espace de Hilbert égal au produit vectoriel de N espaces de Hilbert, chacun de ces espaces caractérisant un des N systèmes quantiques. Si on suppose que le système tout entier est caractérisé par le fait que la particule étiquetée i se trouve actuellement dans l'état quantique de niveau d'énergie ${\displaystyle n_{i}}$ , alors l'ensemble du système peut être représenté par l'état quantique :

${\displaystyle |n_{1},n_{2},n_{3},...\rangle =\prod _{i}{\frac {1}{(n_{i}!)^{\tfrac {1}{2}}}}(a_{i}^{\dagger })^{\alpha }|0\rangle }$ avec ${\displaystyle \alpha =n_{i}}$ [5]

où ${\displaystyle |0\rangle }$ représente l'état fondamental du système (cet état est aussi appelé l'état du vide , dans le contexte du problème à N corps) Le formalisme de seconde quantification implique donc que si on applique plusieurs fois l'opérateur de création sur l'état fondamental ${\displaystyle |0\rangle }$ du système, on obtient finalement un état excité dans lequel chaque corps (donc chacun des N sous-systèmes individuels) se trouvera dans l'état d'énergie ${\displaystyle n_{i}}$ correspondant.

Si on considère comme système de N corps un ensemble d'électrons situés à l'intérieur d'un réseau cristallin, le formalisme de seconde quantification permet d'écrire, de manière claire, l'hamiltonien décrivant ce système. Cet hamiltonien peut ainsi s'écrire :

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H_{0}}}+{\hat {V_{e}}}}$ , où :

${\displaystyle {\hat {H_{0}}}=\int d^{d}ra_{\sigma }^{\dagger }({\overrightarrow {r}})\left[{\frac {{\hat {\overrightarrow {p}}}^{2}}{2m}}+V({\overrightarrow {r}})\right]a_{\sigma }({\overrightarrow {r}})}$ est l'hamiltonien qui décrit les électrons (en supposant qu'ils sont libres, donc en ne tenant pas compte des interactions entre électrons)

${\displaystyle {\hat {V}}_{e}={\frac {1}{2}}\int d^{d}r\int d^{d}r'V_{e}({\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r'}})a_{\sigma }^{\dagger }({\overrightarrow {r}})a_{\delta }^{\dagger }({\overrightarrow {r'}})a_{\delta }({\overrightarrow {r'}})a_{\sigma }({\overrightarrow {r}})}$ est le terme qui décrit l'interaction coulombienne entre deux électrons (situés respectivement en positions ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {r'}}}$) , et ${\displaystyle \sigma }$ est la polarisation du spin d'un électron, ${\displaystyle \delta }$ est la polarisation de spin de l'électron avec lequel interagit le premier électron, et le terme ${\displaystyle V({\overrightarrow {r}})}$ est l'énergie potentielle due au réseau cristallin[5].