Résolution d'équations différentielles par quadrature

La résolution explicite vise à écrire sous une forme analytique la solution à une équation différentielle. Plus précisément, étant donné une équation de la forme :

${\displaystyle F(t,x(t),x'(t),...,x^{(n)}(t))=0}$

où x(t) varie dans un espace vectoriel topologique réel ou complexe E, on cherche une expression de x(t) suivant une condition initiale x(t₀) et de la variable réelle t ne faisant intervenir que :

• des opérations algébriques ;
• des fonctions élémentaires ;
• des quadratures ;
• des inversions de difféomorphismes.

Le problème de la résolution explicite ne suppose pas a priori l'existence ou l'unicité d'une ou des solutions(s) recherchée(s).

Il peut être prouvé qu'une équation différentielle générique ne peut pas être résolue^{[réf. nécessaire]}. L'ensemble des méthodes mises en place ne concernent que des familles données d'équations différentielles, dont la spécificité se justifie au niveau de leur(s) application(s) respective(s).

Équations scalaires d'ordre un, sous forme résolue
Équation à variables séparées	${\displaystyle y'=f(x)g(y)\,}$	Soluble par primitivations et raccordements
Équation linéaire d'ordre un	${\displaystyle y'=a(x)y+b(x)\,}$	Soluble par changement de variable et primitivation
Équation de Bernoulli	${\displaystyle y'=a(x)y+b(x)y^{m}\,}$	Se ramène à une équation linéaire par changement de variable
Équation de Riccati	${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\,}$	Soluble lorsqu'une solution particulière est connue (se ramène alors à une équation de Bernoulli par changement de variable)
Équation homogène	${\displaystyle y'=f\left({\frac {y}{x}}\right)\,}$	Se ramène à une équation à variables séparées par changement de variable
Équations scalaires d'ordre un, sous forme non résolue
Équation incomplète	${\displaystyle f(x,y')=0\,}$ ou ${\displaystyle f(y,y')=0\,}$	Soluble par paramétrage et primitivation
Équation homogène non résolue	${\displaystyle f\left({\frac {y}{x}},y'\right)=0\,}$	Se ramène par paramétrage à une équation à variables séparées
Équation de Lagrange	${\displaystyle y=a(y')x+b(y')\,}$	Soluble par changement de variable et raccordements
Équation de Clairaut	${\displaystyle y=xy'+f(y')\,}$	Cas particulier du précédent
Équations scalaires d'ordre supérieur à un
Équation linéaire à coefficients constants	${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{0}y=f(x)\,}$	Ramené à la résolution de l'équation caractéristique et à la méthode de variation des constantes
Équation d'Euler	${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{0}y=f(x)}$	Se ramène par changement de variable au cas des coefficients constants
Équation d'ordre deux	${\displaystyle a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x)\,}$	Soluble si on connaît une solution particulière de l'équation homogène ; raccordements
Équations vectorielles
Équation linéaire à coefficients constants	${\displaystyle X'=AX+B(X)\,}$	Ramené à un calcul d'exponentielle d'endomorphisme et à la méthode de variation des constantes

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