Racine carrée de cinq

La racine carrée de cinq, notée √5 ou 5^1/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique.

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

√5 se prononce « racine carrée de cinq » ; se prononçait aussi « radical de cinq ».
√5 se note également 5^1/2 (notation Unicode : 5^½).

Valeur approchée

√5 vaut approximativement

2,236 067 977 4 dans le système décimal (suite A002163 de l'OEIS),
10,00111100 dans le système binaire (suite A004555 de l'OEIS) et
2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.

Fraction continue

Le développement en fraction continue de √5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS). Les réduites successives sont donc ${\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}}\ldots$

Calcul d'une valeur approchée

Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de √5, $x 0 = 2$ .

La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √5 par la formule de récurrence :

x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}}.

avec ici, $A = 5$ . Par itérations successives, on obtient :

$x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=2,25$
$x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}={\frac {161}{72}}\approx 2,2361$
$x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}\approx 2,2360679779.$

Par la suite de Fibonacci

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, lie ${\sqrt {5}}$ aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2[1]:

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}

Cela donne la formule : ${\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)$ qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7^e donne les 13 suivantes[alpha 1]^,[alpha 2].

Lien avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

On trouve donc ${\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.$

Preuve de l'irrationalité

Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n² = m². Ainsi, 5 divise m², donc divise m d'après le lemme d'Euclide. On peut écrire m = 5r, soit 5n² = (5r)² = 25r², n² = 5r², soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m, n) est alors divisible par 5, contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m, n) = 1.

D’une manière générale, la racine carrée d’un nombre premier p ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction m/n car l’égalité m² = pn² mène à une contradiction quant à la parité du nombre d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers. Comme un carré a un nombre pair d’éléments dans sa décomposition en facteurs premiers (puisque c’est deux fois la même liste d’éléments), l’adjonction du nombre premier p à une liste doublée rend le nombre de facteurs premiers impair. On aurait donc du côté du carré un nombre pair d’éléments dans sa décomposition en facteurs premiers, et, du côté du carré multiplié par p, un nombre impair d’éléments dans sa décomposition en facteurs premiers, ce qui est impossible. Si les nombres sont égaux, leur décomposition en facteurs premiers est la même, et donc aussi le nombre d’éléments faisant partie de cette décomposition, et donc aussi la parité de ce nombre. Comme 5 est un nombre premier, la racine carrée de 5 ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

Trigonométrie

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}.

Formules de Ramanujan

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .

Articles connexes

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs).

Notes

La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.
Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

Références

(en) Catalin Badea, « [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ 1993, p. 313-323.

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[2] La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.

[3] Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

[badea-1] (en) Catalin Badea, « [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ 1993, p. 313-323.