Recollement (topologie)

En mathématiques, le recollement est la construction d'un espace topologique obtenu en « attachant un espace à un autre le long d'une application ». Plus précisément[1],[2], on attache un espace Y à un espace X, le long d'une application f à valeurs dans X, continue sur un sous-espace A de Y, en définissant l'espace X ∪f Y comme le quotient de la somme topologique (en) X⊔Y par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée.

Ne doit pas être confondu avec Récolement.

Propriétés

L'ensemble quotient (sans sa topologie) est canoniquement en bijection avec la réunion disjointe X⊔(Y\A).

Si A est fermé dans Y, le plongement X → X ∪f Y est une application fermée et le plongement(Y\A) → X ∪f Y est une application ouverte.

Si A est ouvert (resp. fermé) et f est ouverte (resp. fermée), l'application X⊔Y → X ∪f Y de passage au quotient est ouverte (resp. fermée)[3].

Exemples
  • Le recollement de « cellules » est l'opération de base dans la définition inductive des CW-complexes. L'espace Y est dans ce cas une n-boule fermée et le sous-espace A est son bord, la (n – 1)-sphère.
  • Le recollement est aussi utilisé pour définir des sommes connexes de variétés. Ici, on retire d'abord à chacune des deux variétés une boule ouverte, avant d'attacher entre eux les bords sphériques de ces deux boules.
  • Le wedge de deux espaces pointés est le recollement des deux espaces le long de l'application qui envoie le point base de l'un sur celui de l'autre.
  • Le quotient Y/A correspond au cas particulier de recollement dans lequel X est réduit à un point.
  • La « droite réelle avec un point double » est le recollement de deux copies de ℝ le long de l'ouvert ℝ*.

Description catégorique

Le recollement est un exemple de somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques. En effet, X ∪f Y est la solution du problème universel correspondant au diagramme commutatif suivant, où i est l'injection canonique :

Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Adjunction space » (voir la liste des auteurs).
  1. Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique [détail de l’édition], p. 27.
  2. (en) « Adjunction space », sur PlanetMath.
  3. (en) I. M. James, General Topology and Homotopy Theory, Springer, (lire en ligne), p. 46.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie
  • (en) Ronald Brown, Topology and Groupoids, BookSurge, , 3e éd., 512 p. (ISBN 978-1-4196-2722-4)
  • (en) Stephen Willard, General Topology, Mineola, N.Y., Dover, (1re éd. 1970), 369 p. (ISBN 978-0-486-43479-7, lire en ligne)
  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.