Stationnarité d'une série temporelle

Définition — Soit un processus temporel à valeurs réelles et en temps discret ${\displaystyle \textstyle Z_{1},Z_{2},...,Z_{t}}$. Il est dit stationnaire au sens fort si pour toute fonction f mesurable :

${\displaystyle \textstyle f(Z_{1},Z_{2},...,Z_{t})\ et\ f(Z_{1+k},Z_{2+k},...,Z_{t+k})}$ ont même loi.

Interprétation

On s'intéresse ici à la distribution conjointe de probabilité du processus. La fonction de densité jointe est-elle la même que l'on prenne les t premières variables ou que l'on prenne les t+k suivantes? Si oui, le processus est alors stationnaire au sens strict. Autrement dit, si le processus est stationnaire, ses propriétés ne sont pas affectées par un changement de notre « repère temporel » : que l'on regarde au point t ou au point t+k la série aura toujours le même comportement.

Comme la loi de probabilité d'une distribution d'une série de données est très difficile à estimer, une définition moins stricte de la stationnarité a été introduite.

Interprétation

• La première condition dispose que l'espérance est constante au cours du temps, il n'y a donc pas de tendance.
• La seconde condition dispose que la variance est constante au cours du temps et non infinie.
• Troisième condition : L'auto-corrélation (ou auto-covariance, la distinction étant peu importante ici) ${\displaystyle \textstyle \rho _{t,t-k}}$ entre la variable ${\displaystyle \textstyle Z_{t}}$ et la variable ${\displaystyle \textstyle Z_{t-k}}$ dépend-elle seulement de l'ampleur d'un décalage de k (on a : ${\displaystyle \textstyle \rho _{t,t-k}\scriptstyle =f(k)}$), ou alors la position dans le temps t joue-t-elle aussi un rôle (alors ${\displaystyle \textstyle \rho _{t,t-k}\scriptstyle =f(t,k)}$) ? Si la position dans le temps ne joue pas de rôle alors la troisième condition est remplie. On remarquera que celle-ci inclut la deuxième si l'on prend k=0 car alors l'auto-covariance correspond à la variance.

La stationnarité faible est dit stationnarité du second ordre, car sa définition se base exclusivement sur les deux premiers moments de la variable aléatoire de ${\displaystyle \textstyle Z_{t}}$.

La notion de stationnarité est importante dans la modélisation de séries temporelles, le problème de régression fallacieuse montrant qu'une régression linéaire avec des variables non-stationnaires n'est pas valide. Plus précisément, la distribution des paramètres de la régression ne suit plus une loi de Student mais un mouvement brownien. Dans le cas où les variables ne sont pas stationnaires, un concept très proche, celui de coïntégration, permet de déterminer le type de modèle à utiliser.

La stationnarité joue également un rôle important dans la prédiction de séries temporelles, l'intervalle de prédiction étant différent selon que la série est stationnaire ou non.

Lorsqu'une ou plus des conditions de stationnarité n'est pas remplie, la série est dite non-stationnaire. Ce terme recouvre cependant de nombreux types de non-stationnarité, dont deux sont ici exposés.

Si la fonction de densité n'est pas connue, ce qui est souvent le cas, il est utile de pouvoir déterminer par un test si la série est stationnaire ou non. Il en existe deux types, avec la stationnarité comme hypothèse nulle ou hypothèse alternative :

• Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press
• Lardic, Mignon (2002), Économétrie des séries temporelles macroéconomiques et financières, Economica, Paris
• Maddala, Kim (1998), Unit roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge University Press

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