Statistiques directionnelles

Toute fonction de densité de probabilité ${\displaystyle f(x)}$ définie sur R peut être enroulée sur un cercle-unité[3] : la fonction de densité ${\displaystyle f_{c}(\theta )}$ de la variable angulaire ${\displaystyle \theta =x{\bmod {2}}\pi }$ est la somme de toutes valeurs f (x) où la valeur de x correspond à l'angle θ, soit :

${\displaystyle f_{c}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(\theta +2k\pi )}$.

Ce concept peut être étendu à une variable à n composantes θ en sommant n fois sur chaque dimension.

${\displaystyle f_{c}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{+\infty }\cdots \sum _{k_{n}=-\infty }^{+\infty }f({\boldsymbol {\theta }}+2k_{1}\pi \mathbf {e} _{1}+\cdots +2k_{n}\pi \mathbf {e} _{n})}$,

où les e_k sont les vecteurs de la base canonique.

Voici quelques distributions circulaires courantes.

Dans cette distribution, chaque angle est équiprobable : la densité de probabilité de la distribution circulaire uniforme est

${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}}$ avec ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi [}$.

La densité de probabilité correspondant à une loi normale enroulée (notée WN pour wrapped normal distribution) selon le procédé décrit ci-dessus est :

${\displaystyle WN(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {-(\theta -\mu -2k\pi )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} ,

où μ et σ sont respectivement la moyenne et l'écart-type de la distribution normale sous-jacente.

On peut également l'écrire au moyen de la fonction thêta de Jacobi ${\displaystyle \vartheta }$:

${\displaystyle WN(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},i{\frac {\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)} .

La densité de probabilité correspondant à une loi de Cauchy enroulée (notée WC pour wrapped Cauchy distribution) est :

${\displaystyle WC(\theta$ ;\theta _{0},a)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {a}{\pi (a^{2}+(\theta -\theta _{0}+2k\pi )^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\sinh a}{\cosh a-\cos(\theta -\theta _{0})}}} ,

où θ₀ est le paramètre de position (c'est-à-dire l'angle correspondant au pic de densité) et a le paramètre d'échelle de la distribution.

La densité de probabilité correspondant à une loi de Lévy enroulée (notée WL pour wrapped Lévy distribution) est :

${\displaystyle WL(\theta$ ;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {\exp({\frac {-c}{\theta -\mu +2k\pi }})}{(\theta -\mu +2k\pi )^{\frac {3}{2}}}}} ,

en considérant comme nulles les valeurs du terme de la somme pour lesquelles ${\displaystyle (\theta -\mu -2k\pi )\leq 0}$, où μ est le paramètre de position et c le paramètre d'échelle de la distribution.

Contrairement aux distributions enroulées vues plus haut, la distribution de von Mises est définie directement sur un cercle. Elle est donc particulièrement utile en statistiques circulaires car le calcul de sa fonction de densité ne fait pas intervenir de somme infinie. Si on peut la considérer comme une version enroulée d'une fonction de distribution sur R, il n'existe pas de formule fermée pour cette distribution.

Elle possède des paramètres similaires à la loi normale : une moyenne μ et une concentration κ dont l'inverse 1/κ est analogue à la variance σ² d'une loi normale, ce qui amène parfois à la qualifier de "loi normale circulaire"[4]. Elle est également une bonne approximation de la loi normale enroulée. Sa fonction de densité est donnée par :

${\displaystyle f(\theta$ ;\mu ,\kappa )={\frac {\exp(\kappa \cos(\theta -\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa )}}} ,

où I₀ est la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0.

À noter que la loi circulaire uniforme est un cas particulier de la loi de von Mises pour κ = 0.

La mesure la plus courante de tendance centrale est la moyenne circulaire (en), c'est-à-dire le moment d'ordre 1 de la distribution (ou de l'échantillon). La moyenne circulaire de l'échantillon étant un estimateur sans biais de l'espérance de la distribution. On peut, si la population est suffisamment concentrée sur un support étroit, définir une médiane et un mode de la même manière que pour le cas linéaire.

Les mesures de dispersions les plus utilisés sont :

• La variance circulaire, définie comme ${\displaystyle \mathrm {Var} (z)=1-R}$ pour un échantillon ou une distribution. La variance sera toujours comprise entre 0 et 1.
• L'écart-type circulaire ${\displaystyle S(z)={\sqrt {\ln {\frac {1}{R^{2}}}}}={\sqrt {-2\ln R}}}$. La valeur de l'écart-type est comprise entre 0 et +∞. Cette définition de l'écart-type circulaire, contrairement à l'écart-type linéaire (défini comme la racine carrée de la variance) permet d'obtenir un estimateur de l'écart-type de la distribution sous-jacente dans le cas d'une distribution normale enroulée ou d'une distribution de von Mises.
• La dispersion circulaire ${\displaystyle \delta (z)={\frac {1-R_{2}}{2R^{2}}}}$ dont les valeurs sont entre 0 et +∞.