Suite récurrente

En mathématiques, une suite récurrente (autonome)[1] est une suite associée à une fonction (d’une ou plusieurs variables) appelée fonction de récurrence, laquelle permet de calculer chaque terme à partir des précédents par une relation de récurrence de la forme $\forall n,u_{n+p}=f(u_{n},u_{n+1},\dots ,u_{n+p-1})$ . Il s’agit d’un système dynamique discret pouvant être défini par la relation et un ou plusieurs termes initiaux, ou comme suite associée à une autre par une transformation bijective.

En analyse réelle, les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques sont ainsi les premiers exemples de suites récurrentes simples. Les suites logistiques mettent en lumière les comportements de convergence, de cycle limite ou de divergence de suites récurrentes avec une forte sensibilité aux conditions initiales qui relèvent de la théorie du chaos. La suite de Fibonacci est un exemple de suite récurrente linéaire d’ordre 2 avec la relation $\forall n\geq 0,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ .

L’étude des variations et de la convergence d’une suite réelle récurrente simple est liée à la recherche des points fixes de sa fonction de récurrence.

Des suites récurrentes peuvent aussi apparaitre dans le contexte des langages rationnels avec des suites de mots.

Définition

Définition par récurrence

La relation de récurrence est souvent le support de la définition d’une suite récurrente. À partir d’une fonction $f$ opérant sur un ensemble $E$ et d’un terme initial (ou premier terme) souvent noté $u 0$ ou $u 1$ dans $E$ , la relation $\forall n,u_{n+1}=f(u_{n})$ définit de façon unique une suite à valeurs dans $E$ .

Lorsque la fonction de récurrence a des valeurs qui sortent de son ensemble de définition (par exemple dans le cas d’une fonction homographique de la forme $x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ admettant une valeur interdite en ${\frac {-d}{c}}$ qui peut apparaitre pourtant dans son ensemble image), la définition par récurrence doit s’appuyer sur la vérification que la fonction de récurrence est toujours bien définie sur les valeurs de la suite. La détermination d’un intervalle stable est une procédure efficace pour justifier la bonne définition d’une suite récurrente à valeurs réelles.

Suite associée

Si $u$ est une suite récurrente à valeurs dans un ensemble $E$ et si $g$ est une transformation bijective entre l’ensemble $E$ et un ensemble $F$ , la suite associée $(v n) = (g (u n))$ est aussi une suite récurrente dont la fonction de récurrence est obtenue par conjugaison par $g$ : $\forall n,v_{n+1}=g(f(g^{-1}(v_{n})))$ .

Cette situation apparait notamment lorsque l’on soustrait à une suite arithmético-géométrique le point fixe de sa fonction de récurrence. La suite obtenue est alors géométrique avec le même facteur multiplicatif comme raison.

Vectorialisation de récurrence multiple

Comme dans le cas particulier des suites récurrentes linéaires, toute suite définie par une relation de récurrence portant sur plusieurs termes précédents peut être obtenue à partir d’une suite vectorielle récurrente simple. Par exemple, si $\forall n,u_{n+3}=f(u_{n},u_{n+1},u_{n+2})$ , alors on peut poser $\forall n,X_{n}=(u_{n},u_{n+1},u_{n+2})$ et $F:(x,y,z)\mapsto (y,z,f(x,y,z))$ pour obtenir la relation $\forall n,X_{n+1}=F(X_{n})$ .

Suite réelle récurrente simple

Exemples

Nom	Relation de récurrence	Conditions
suite arithmétique	$u_{n+1}=u_{n}+r$
suite géométrique	$u_{n+1}=u_{n}\times q$	parfois à l’exclusion de la valeur 0
suite arithmético-géométrique	$u_{n+1}=au_{n}+b$	en général $a \in R ∖{0; 1}$
suite logistique	$u_{n+1}=\mu u_{n}(1-u_{n})$	dans l’intervalle $[0, 1]$ avec $μ \in [0, 4]$
suite de Syracuse	$u_{n+1}={\begin{cases}u_{n}/2&{\text{si}}\ u_{n}\ {\text{est pair}}\\3u_{n}+1&{\text{sinon}}\end{cases}}$	dans $Z$
suite aliquote	$u n +1$ est la somme des diviseurs stricts de $u n$	dans $N *$

Propriétés

Si $(u n)$ est une suite récurrente à valeurs dans un intervalle $I$ stable par sa fonction de récurrence $f$ , les propriétés de la fonction ne sont pas forcément celles de la suite, mais il existe des liens entre les deux.

Si la fonction de récurrence est croissante, la suite est monotone (mais pas nécessairement avec le même sens de variation que la fonction).

Si la suite converge vers un réel $α \in I$ et si la fonction de récurrence est continue alors la limite $α$ est un point fixe de la fonction de récurrence.

Si la fonction de récurrence est dérivable en l’un de ses points fixes noté $α$ , alors ce point fixe est attractif si $\left|f'(\alpha )\right|<1$ et ce point fixe est répulsif si $\left|f'(\alpha )\right|>1$ .

Le théorème de Charkovski donne des conditions à l’existence de points périodiques pour une suite réelle récurrente simple.

Notes et références

L’adjectif autonome, plus souvent rencontré pour une équation différentielle ordinaire, est parfois utilisé (comme dans ce polycopié sur les suites récurrentes en M2 MEEF à Paris Saclay) pour évacuer les cas où la relation de récurrence ferait intervenir l’indice $n$ de la suite, comme dans ce manuel de Xcas par Renée Degraeve.

Voir aussi

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[1] L’adjectif autonome, plus souvent rencontré pour une équation différentielle ordinaire, est parfois utilisé (comme dans ce polycopié sur les suites récurrentes en M2 MEEF à Paris Saclay) pour évacuer les cas où la relation de récurrence ferait intervenir l’indice $n$ de la suite, comme dans ce manuel de Xcas par Renée Degraeve.