Équivalent

Soient ${\displaystyle u_{n}}$ et ${\displaystyle v_{n}}$ deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que ${\displaystyle u_{n}}$ est équivalente à ${\displaystyle v_{n}}$, et on note ${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}}$ [1], si la suite ${\displaystyle u_{n}-v_{n}}$ est négligeable devant la suite ${\displaystyle v_{n}}$.

En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit : ${\displaystyle u_{n}=v_{n}+o(v_{n})}$, et se traduit par l'existence d'une suite ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ qui tend vers zéro et vérifie ${\displaystyle u_{n}=(1+\varepsilon _{n})v_{n}}$ à partir d'un certain rang.

Cet assouplissement « à partir d'un certain rang », oublié dans certains manuels[2]^,[3]^,[4], est pourtant indispensable pour que la relation ${\displaystyle \sim }$ ne dépende que du comportement asymptotique des suites que l'on compare, et non pas de l'éventuelle nullité de certains termes initiaux[5].

• Un équivalent de la somme partielle ${\displaystyle H_{n}}$ d'ordre ${\displaystyle n}$ de la série harmonique est ${\displaystyle \ln n}$ :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{1 \over k}\sim \ln n}$

• Un équivalent de la factorielle est donné par la formule de Stirling : ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over {\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

• Soit ${\displaystyle \pi _{n}}$ la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ${\displaystyle n}$. Le théorème des nombres premiers établit que :

${\displaystyle \pi _{n}\sim {\frac {n}{\ln n}}}$

• En notant ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de façon de décomposer ${\displaystyle n}$ en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors il vient :

${\displaystyle P_{n}\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang[6]. Cependant, la plupart des auteurs mettent en garde contre la notation ${\displaystyle u_{n}\sim 0}$. Certains la proscrivent même avec virulence, au mieux ne s'autorisant à comparer que des suites non nulles à partir d'un certain rang[7], au pire proclamant que la seule suite équivalente à la suite nulle est elle-même[4].

• Dans le cas où la suite ${\displaystyle v_{n}}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :

  ${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=1.}$

Cette définition alternative est la plus parlante et souvent celle utilisée pour montrer l'équivalence.

• Si deux suites sont équivalentes, alors elles ont la même limite. La réciproque est fausse.
• Si une suite est équivalente à une constante ${\displaystyle \ell }$ (rigoureusement la suite constante ${\displaystyle (\ell )_{n\in \mathbb {N} }}$), la suite à pour limite cette constante ${\displaystyle \ell }$.
• La relation ${\displaystyle \sim }$ est, de façon attendue, une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes.
• Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.

Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel, +∞ ou –∞).

On dit que f est équivalente à g en a, et on note ${\displaystyle f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;g}$ (ou simplement ${\displaystyle f\sim g}$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$ définie sur un voisinage V de a telle que :

• ${\displaystyle \lim _{a}\varepsilon =0}$
• ${\displaystyle \forall x\in (V\cap A)\setminus \{a\},~f(x)=(1+\varepsilon (x))g(x).}$

• Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.
• ${\displaystyle \sin x{\underset {\overset {x\to 0}{}}{\sim }}\tan x{\underset {\overset {x\to 0}{}}{\sim }}x}$.

• Si g est non nulle au voisinage de a, on a :
  ${\displaystyle f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;g\Leftrightarrow \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

Cette définition alternative est la plus parlante et souvent celle utilisée pour montrer l'équivalence.

• En particulier, si ${\displaystyle \ell }$ est une constante non nulle :
  ${\displaystyle f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;\ell \Leftrightarrow \lim _{a}f=\ell .}$
• Dans les rares situations où ${\displaystyle f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;0}$, alors f est nulle sur un voisinage de a.
• La relation ${\displaystyle \sim }$ est, de façon attendue, une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes.
• Si f et g sont équivalentes en a, alors :
  • elles sont de même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a ;
  • elles tendent vers la même limite.
• En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation ${\displaystyle \sim }$ . Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

• On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
  • définies sur une partie A d'un espace topologique autre que ℝ ;
  • à valeurs dans un espace vectoriel normé sur K, ou même dans un espace vectoriel topologique sur un corps valué K autre que ℝ ou ℂ.
• La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.