Tangente à un cercle

La construction d'une tangente t à un cercle de centre O, passant par le point T de sa circonférence au compas et à la règle non graduée est relativement directe :

• tracer la droite joignant O et T;
• la droite t est la perpendiculaire à (OT) passant par T

Construction d'une tangente à un cercle donné (en noir) à un point extérieur (P).

Le théorème de Thalès peut être utilisée pour construire les tangentes passant par un point P extérieur au cercle C :

• tracer un cercle centré au milieu du segment [OP], de diamètre OP
• les points d'intersection T₁ et T₂ du cercle C et du deuxième cercle sont les points de tangence des deux tangentes passant par P, selon ce qui suit.

Les segments OT₁ et OT₂ sont des rayons du cercle C ; comme ceux-ci sont inscrites dans un demi-cercle, ils sont perpendiculaires aux segments PT₁ et PT₂, respectivement. Mais une seule droite tangente est perpendiculaire au rayon. Ainsi, les deux droites depuis P et passant par T₁ et T₂ sont tangentes au cercle C.

Une autre méthode de construction des tangentes passant par un point P extérieur au cercle en utilisant que la règle non graduée :

• Tracer trois droites différentes passant par le point P qui coupent le cercle deux fois ;
• Soient A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂, les six points d'intersection, les deux points avec la même lettre se trouvant sur la même ligne, le point d'indice 1 est le plus proche de P ;
• Soit D le point d'intersection de A₁B₂ et A₂B₁ ;
• De même, soient E le point d'intersection de B₁C₂ et B₂C₁.
• tracer la droite (DE)
• les points d'intersection de (DE) sont les points de tangence recherchés[1]

Un polygone tangentiel est un polygone dont chaque côté est tangent à un cercle particulier, son cercle inscrit. Tout triangle est un polygone tangentiel, ainsi que tout polygone régulier ; de plus, pour chaque nombre de côtés de polygone, il y a une infinité de polygones tangentiels non-congruents.

Un quadrilatère tangentiel ABCD est un quadrliatère convexe dont les quatre côtés sont tangents à un cercle donné C. De façon équivalente, le cercle C est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Par le théorème de Pitot, les sommes des longueurs des côtés opposés d'un tel quadrilatère sont égales :

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.}$

Un quadrilatère tangentiel

Cette conclusion suit l'égalité des segments tangents des quatre côtés d'un quadrilatère. On note les points de tangence P (sur le côté AB), Q (sur le côté BC), R (sur le côté CD) et S (sur le côté DA). Les segments tangents symétriques par rapport à chaque point de ABCD sont égaux : BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d et AS = AP = a. Mais chaque côté du quadrilatère est composé de deux tels segments tangents :

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)={\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)}$

prouvant le théorème.

La réciproque est aussi vraie : un cercle peut être inscrit dans chaque quadrilatère dans lequel les sommes des longueurs des côtés opposés sont égales[2].

Ce théorème et sa réciproque ont plusieurs applications : on en déduit aussitôt qu'aucun rectangle n'est tangentiel à moins que ce soit un carré, et qu'un losange a un cercle inscrit mais un parallélogramme n'en a pas dans le cas général.

Trouver les tangentes extérieures à deux cercles.

La ligne rouge joignant les points (x₃ , y₃) et (x₄ , y₄) est la tangente extérieure entre deux cercles. Avec les points donnés (x₁ , y₁), (x₂ , y₂), les points (x₃ , y₃), (x₄ , y₄) peuvent être aisément calculés avec l'angle α :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}}$

Ici R et r désignent les rayons des deux cercles et l'angle α peut être calculés par de la trigonométrie de base. On a en effet α = γ - β avec ${\displaystyle \gamma =-\arctan \left({\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)}$ et ${\displaystyle \beta =\pm \arcsin \left({\tfrac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)}$[4].

Tangente intérieure. Les tangentes extérieures passent par le centre homothétique intérieur.

Une tangente intérieure est celle qui intersecte le segment joignant les deux centres des cercles. Cette droite ne peut être définie dans les cas où les cercles se croisent.

Les droites bitangentes peuvent être construites soit en construisant les centres homothétiques, comme montré dans cet article, puis en construisant les tangentes passant par ces centres, ou de façon plus directe. Ces méthodes ne fonctionnent pas dans les cas dégénérés, mais on peut les construire comme des cas limites.

Soient O₁ et O₂ les centres de deux cercles, C₁ et C₂, de rayons respectifs r₁ et r₂, avec r₁ > r₂ ; le cercle C₁ est donc défini comme le plus grand des deux cercles. Il existe deux méthodes différentes pour construire les tangentes extérieures et intérieures.

Tangentes extérieures

Construction d'une tangente extérieure

Un nouveau cercle C₃ de rayon r₁ − r₂ est tracé, centré en O₁. Par la méthode décrite ci-dessus, deux droites sont tracées depuis O₂, tangentes à ce nouveau cercle. Ces droites sont parallèles aux tangentes recherchées, car la situation correspond à la réduction des deux cercles C₁ et C₂ par un taux constant, r₂, qui réduit C₂ à un point. Deux droites radiales peuvent être tracées depuis le centre O₁ par les points de tangentes sur C₃; ils intersectent C₁ aux points de tangence désirés. Les droites tangentes extérieures recherchées sont les droites perpendiculaires aux droites radiales en ces points de tangence, qui peuvent être construites comme vu plus haut.

Tangentes intérieures

Construction d'une tangente intérieure

Un nouveau cercle C₃ de rayon r₁ + r₂ est tracé, centré en O₁. Par la méthode décrite ci-dessus, deux droites sont tracées depuis O₂, tangentes à ce nouveau cercle. Ces droites sont parallèles aux tangentes recherchées, car la situation correspond à la réduction de C₂ à un point tout en agrandissant C₁ par un taux constant, r₂. Deux droites radiales peuvent être tracées depuis le centre O₁ par les points de tangentes sur C₃; ils intersectent C₁ aux points de tangence désirés. Les droites tangentes intérieures recherchées sont les droites perpendiculaires aux droites radiales en ces points de tangence, qui peuvent être construites comme vu plus haut.

Soient les cercles de centres c₁ = (x₁,y₁) et c₂ = (x₂,y₂) de rayons respectifs r₁ et r₂. En donnant l'équation d'une droite ax + by + c = 0, avec la normalisation a² + b² = 1, alors une bitangente aura pour équation :

${\displaystyle ax_{1}+by_{1}+c=r_{1}}$

${\displaystyle ax_{2}+by_{2}+c=r_{2}}$

Pour trouver ${\displaystyle (a,b,c)}$, on commence par soustraire la première équation à la deuxième :

${\displaystyle a\Delta x+b\Delta y=a(x_{2}-x_{1})+b(y_{2}-y_{1})=\Delta r=r_{2}-r_{1}.}$

Si ${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ est la distance de c₁ à c₂, on peut normaliser par X = Δx/d, Y = Δy/d et R = Δr/d pour simplifier les équations, ce qui donne

${\displaystyle aX+bY=R,\,a^{2}+b^{2}=1.}$

La résolution donne deux solutions (k = ±1) pour les tangentes extérieures :

${\displaystyle a=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}}$

${\displaystyle b=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}}$

${\displaystyle c=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})}$

Géométriquement, cela correspond à calculer l'angle entre les tangentes et la droite des centres, puis l'utiliser pour faire pivoter l'équation de la droite des centres pour trouver l'équation de la tangente. L'angle est obtenu par le calcul des fonctions trigonométriques d'un triangle rectangle dont les sommets sont les centres d'homothétie (extérieurs), un centre d'un cercle, et un point tangent ; l'hypoténuse repose sur la tangente, le rayon est opposé à l'angle, le côté adjacent repose sur la droite des centres.

(X, Y) est le vecteur unité dirigé de c₁ vers c₂, tandis que R est cos θ où θ est l'angle entre la droite des centres et une tangente. sin θ est alors ± √1-R² (selon le signe de θ, ou l'angle de rotation), et les équations précédentes expriment la rotation de (X, Y) par ± θ, selon la matrice de rotation :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}}$

k = 1 est la tangente à droite des cercles, vue de c₁ vers c₂.

k = −1 est la tangente à gauche des cercles, vue de c₂ vers c₁.

On est resté ici dans le cas des rayons positifs. Si r₁ est positif et r₂ négatif, alors c₁ va reposer à la gauche de chaque droite et c₂ à leur droite, et les deux tangentes vont se croiser. Dans ce cas, on obtient les quatre solution. Echanger les signes de rayons inverse k = 1 et k = −1.

Trouver les tangentes extérieures. Tangentes aux cercles.

En général les points de tangence t₁ et t₂ pour les quatre droites tangentes aux deux cercles avec pour centres v₁ et v₂ et pour rayons r₁ et r₂ sont donnés en résolvant les équations vectorielles suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}}$

Ces équations expriment que la droite tangente, qui est parallèle à t₂ - t₁,est orthogonale au rayon, et que les points de tangence sont sur leurs cercles respectifs.

On obtient ainsi quatre équations quadratiques sur des vecteurs en dimension 2, ce qui donne en général quatre paires de solutions.

Deux cercles distincts peuvent avoir entre zéro et quatre droites bitangentes, selon la configuration ; on peut séparer les cas selon la distance entre les centres et les rayons. En comptant avec leur multiplicité (une tangente commune étant compté deux fois) il y a donc zéro, deux ou quatre bitangentes. Des bitangentes peuvent être également généralisées en cercles, avec des rayons nuls ou négatifs. Les cas dégénérés et les multiplicités peuvent être comprises en termes de limites d'autres configurations – e.g., une limite de deux cercles qui se touchent presque, et en déplacer un pour qu'il y ait contact, ou un cercle avec un petit rayon qui se réduit à un point.

• si les cercles sont à l'extérieur l'un de l'autre (d > r₁ + r₂), ce qui est la position générale, il y a quatre bitangentes.
• s'ils se touchent en un point à l'extérieur (d = r₁ + r₂) – avec un point de tangence externe – il y a deux bitangentes extérieures et une bitangente interne, la tangente commune, donc de multiplicité 2, car les deux cercles sont de art en part de cette droite.
• si les cercles se croisent en deux points (|r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂), alors il n'y a aucune bitangente intérieure et seulement deux bitangentes extérieures (elles ne peuvent ps être séparés car elles se croisent, donc pas de bitangente intérieure).
• si les cercles sont tangents intérieurement en un point (d = |r₁ - r₂|), alors il n'y a aucun bitangente intérieure et une bitangente extérieure double, la tangente commune.
• si un cercle est entièrement à l'intérieur (d < |r₁ - r₂|) alors il n'y a aucune bitangente, car une tangente au cercle intérieur devra forcément être sécant avec le cercle extérieur.

Si les deux cercles sont identiques, toute tangente est commune et donc bitangente aux deux cercles, donc tout point du cercle est un point de bitangence.

On peut étendre la notion de bitangence aux cercles de rayons négatifs (le même ensemble de points, x² + y² = (-r)²,mais considéré à l'envers), où dans ce cas si les rayons ont des signes opposés (un cercle a un rayon négatif et l'autre a un rayon positif) les centres d'homothétie extérieures et intérieures sont intervertis, tandis que si les rayons ont le même signe, "extérieure" et "intérieure" ont le même sens usuel (la double inversion permet de revenir au cas initial).

Les bitangentes peuvent également être définies quand un ou les deux cercles sont de rayon nul. Dans ce cas, les cercles de rayons nuls forment un point double, et toute droite passant par ce point le croise avec une multiplicité 2, et donc "tangent". Si un cercle est de rayon nul, une bitangente est simplement une droite tangente par le cercle est passant par le point, compté avec une multiplicité 2. Si les deux cercles sont de rayons nuls, la droite bitangente est la droite déinie par ces deux points, avec une multiplicité 4.

Notons que dans ces cas dégénérés, les centres d'homothétie extérieure et intérieure existent malgré tout en général (le centre extérieur est à l'infini si les rayons sont égales), sauf si les cercles coïncident, dans ce cas le centre extérieur n'est pas défini, ou si les deux cercles sont de rayons nuls, auquel cas le centre intérieur n'est pas défini.

Les tangentes intérieures et extérieures sont utiles pour la résolution du problème de la ceinture, qui consiste à calculer la longueur d'une sangle ou d'une corde qui tiendra autour de deux poulies. En considérant la ceinture comme une ligne mathématique d'épaisseur négligeable, et si les deux poulies sont placés sur le même plan, le problème revient à additionner les longueurs des segments de droites tangentes avec les longueurs d'arcs circulaires que parcourt la corde. Si la ceinture est enroulée autour des roues et se croisent, les tangentes intérieures sont utiles. Réciproquement, si la ceinture est enroulée extérieurement autour des poulies, les tangentes extérieures apparaissent ; on parle parfois de "problèmes des poulies".