Test de convergence

Pour que la série converge, il est nécessaire que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$. Par conséquent, si cette limite est indéfinie ou non nulle, alors la série diverge.

La condition n'est pas suffisante, et, si la limite des termes est nulle, on ne peut rien conclure.

Toute série absolument convergente converge.

Si la série ${\displaystyle \sum b_{n}}$ est absolument convergente et ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ pour n suffisamment grand, alors la série ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converge absolument.

Application aux suites équivalentes

Si ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$ et si ${\displaystyle a_{n}\sim b_{n}}$, alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converge si et seulement si ${\displaystyle \sum b_{n}}$ converge.

Ce test est également connu comme le critère de d'Alembert.

Supposons qu'il existe ${\displaystyle r}$ tel que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Si r < 1, alors la série est absolument convergente. Si r > 1, alors la série diverge. Si r = 1, le test de ratio n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.

Ce test est également connu comme le test de la racine n-ième.

Soit 

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$,

où ${\displaystyle \limsup }$ désigne la limite supérieure (qui peut être ${\displaystyle +\infty }$).

Si r < 1, alors la série converge. Si r > 1, alors la série diverge. Si r = 1, le test n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.

La règle de Cauchy est plus forte que la règle de d'Alembert (car la condition requise est plus faible) : chaque fois que la règle de d'Alembert détermine la convergence ou la divergence d'une série infinie, la règle de Cauchy le fait aussi, mais la réciproque est fausse[1].

Par exemple, pour la série

${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\dots =4}$,

la convergence peut se déduire de la règle de Cauchy, mais pas de celle de d'Alembert[2].

La série peut être comparée à une intégrale pour établir sa convergence ou sa divergence. Soit ${\displaystyle f:\left[1,\infty \right[\to \mathbb {R} }$ une fonction monotone.

La série ${\displaystyle \sum f(n)}$ converge si et seulement si l'intégrale impropre ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$ converge.

Si :

• ${\displaystyle (a_{n})}$ est une suite réelle monotone de limite nulle et
• ${\displaystyle (b_{n})}$ est une suite de nombres complexes dont la suite ${\displaystyle \left(\sum _{k\leq n}b_{k}\right)_{n}}$ des sommes partielles est bornée,

alors ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ converge.

Ce théorème a deux corollaires importants :

Si :

1. ${\displaystyle (-1)^{n}a_{n}}$ est de signe constant,
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$,
3. la valeur absolue de chaque terme est inférieure à la valeur absolue du terme précédent,

alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ est convergente.

Ce test est également connu comme le critère de Leibniz.

Si :

1. ${\displaystyle (a_{n})}$ est une suite monotone et bornée et
2. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ est une série convergente,

alors ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ est aussi convergente[3].

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}}$ une série de réels strictement positifs.

• Si ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}}$ pour un certain ${\displaystyle b>1}$ (indépendant de ${\displaystyle n}$), alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}}$, alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ diverge.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}}$ une série de réels strictement positifs.

• Si ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {b}{n\ln n}}}$ pour un certain ${\displaystyle b>1}$ (indépendant de ${\displaystyle n}$), alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}}$, alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ diverge.

Soit ${\displaystyle (a_{n})}$ une suite positive décroissante.

Soient ${\displaystyle A=\sum _{n\geq 1}a_{n},A^{*}=\sum _{k\geq 0}2^{k}a_{2^{k}}\in \left[0,+\infty \right]}$. Alors, ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$. En particulier :

${\displaystyle \sum a_{n}}$ converge si et seulement si ${\displaystyle \sum 2^{k}a_{2^{k}}}$ converge.

Ce test s'applique par exemple à l'étude des séries de Riemann et des séries de Bertrand.