Théorème d'Hermite-Lindemann

En particulier, e est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873[2] : c’est le théorème d’Hermite).

La transcendance de π est aussi un corollaire du théorème de Lindemann : sin(π) = 0, or on déduit plus généralement du théorème la transcendance de tout nombre non nul t dont (par exemple) le sinus est algébrique. En effet, compte tenu des formules d'Euler (les relations entre cos(t), sin(t) et e^it), dès que l’un des trois est algébrique, tous trois le sont, en particulier e^it est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.

L'approche originelle d'Hermite pour e a été simplifiée et étendue à π par David Hilbert (en 1893)[3]^,[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à π la stratégie pour e, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle vital.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de e et π, voir les références et les annexes.

Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre π (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que π n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.