Espace uniformément convexe

En mathématiques, un espace uniformément convexe est un espace vectoriel muni d'une norme dont les boules sont « bien arrondies », en un sens plus fort que dans un espace strictement convexe. Tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces $L p$ pour $1 < p < \infty$ .

Définition

Un espace uniformément convexe est un espace de Banach[1] — ou seulement, selon les auteurs[2], un espace vectoriel normé[3] — tel que, pour tout $ε > 0$ , il existe un $δ > 0$ pour lequel, pour tout couple $(x, y)$ de vecteurs,

\left(\|x\|\leq 1~{\text{et}}~\|y\|\leq 1~{\text{et}}~\|x-y\|\geq \varepsilon \right)\Rightarrow \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .

ou encore[4] : pour tout $ε > 0$ , il existe un $η > 0$ pour lequel, pour tout couple $(x, y)$ de vecteurs,

\|x-y\|\geq \varepsilon \max(\|x\|,\|y\|)\Rightarrow \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq (1-\eta )\max(\|x\|,\|y\|).

Le concept de convexité uniforme a été introduit par James Clarkson (en)[5].

De manière intuitive, cela signifie que les boules sont bien arrondies : les cordes suffisamment longues de la sphère ont leur milieu suffisamment loin du bord de la boule, le tout avec un caractère uniforme par rapport aux choix de la longueur de la corde. On peut comparer cette notion avec celle d'espace strictement convexe, moins exigeante. Cette propriété peut ne pas être conservée si on passe à une norme équivalente. Ainsi dans le cas du plan ℝ², la norme ║ ║₂ est uniformément convexe, alors que les normes ║ ║₁ ou ║ ║_∞ ne le sont pas.

Propriétés

Si E est un espace de Banach uniformément convexe alors, pour toute forme linéaire continue non nulle f sur E, il existe dans E un unique vecteur unitaire x tel que f(x) = ║f║[6].

Démonstration

Supposons, sans perte de généralité, que ║f║ = 1 et soit (x_n) une suite de vecteurs unitaires telle que f(x_n) → 1. Alors, par encadrement, ║(x_m + x_n)/2║ → 1 quand m, n → $\infty$ donc, par convexité uniforme, la suite (x_n) est de Cauchy. Sa limite fournit le x souhaité. Il est unique par convexité stricte.

Le théorème de Milman-Pettis énonce que tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif.
Ce théorème a été prouvé indépendamment par David Milman[7] et Billy James Pettis[8]. Shizuo Kakutani en donna une preuve différente via la propriété de Banach-Saks[9]^,[10], puis John Ringrose publia une preuve plus courte[11]. Le point précédent permet de le considérer comme un corollaire d'un théorème ultérieur de James, mais il est plus économique de le démontrer directement.

Démonstration[12]

Puisque $E$ (identifié à son image dans $E''$ par l'inclusion isométrique canonique) est complet, il est fortement fermé dans $E''$ . Pour montrer qu'il lui est égal, il suffit donc de montrer que

\forall z\in E'',\forall \varepsilon >0,\exists y\in E,\|z-y\|\leq \varepsilon .

Supposons, sans perte de généralité, que ║ $z$ ║ = 1 et notons $B$ la boule unité fermée de $E$ et $B''$ celle de $E''$ . Pour la topologie faible-*, comme $B$ est dense dans $B''$ (Théorème de Goldstine, vrai pour n'importe quel espace vectoriel normé $E$ ), $z$ appartient à son adhérence, donc à celle de $B \cap V$ pour tout voisinage $V$ de $z$ .

Considérons alors un élément $y$ de $B \cap V$ , pour un voisinage $V$ de $z$ choisi de la façon suivante :

$δ > 0$ correspond au $ε$ dans la définition de la convexité uniforme,
$f \in E'$ est tel que $\|f\|=1{\text{ et }}|\langle z,f\rangle -1|\leq \delta ,$
$V=\{x\in E''~;~|\langle x,f\rangle -1|\leq \delta \}.$

Pour tout $x \in B \cap V$ on a alors :

\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\geq \left|\left\langle {\frac {x+y}{2}},f\right\rangle \right|\geq 1-\delta {\text{ donc }}\|x-y\|\leq \varepsilon .

Ainsi, $B \cap V$ est inclus dans le fermé $y + ε B''$ donc son adhérence (faible-*) aussi. Comme $z$ appartient à cette adhérence, il est bien à distance au plus $ε$ de l'élément $y$ de $E$ .

L'identité du parallélogramme montre que tout espace de Hilbert est uniformément convexe.
Les inégalités de Clarkson (en) ou celles de Hanner (en)[13]^,[14] permettent de montrer que les espaces $L p$ pour $1 < p < \infty$ sont uniformément convexes[15].

Notes et références

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Théorème de Milman-Pettis » (voir la liste des auteurs).
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milman–Pettis theorem » (voir la liste des auteurs).

Cette définition provient de Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 51.
Beaucoup d'auteurs, à la suite de Clarkson 1936, ne définissent la convexité uniforme que pour un espace a priori de Banach.
(en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP, 2004, 184 p. (ISBN 978-0-521-60372-0, lire en ligne), p. 114 ou N. Bourbaki, EVT (lire en ligne), V.66, exercice 31.
(en) Shizuo Kakutani, « Weak convergence in uniformly convex spaces », Tohoku Math. J., vol. 45,‎ 1939, p. 188-193 (lire en ligne).
(en) J. A. Clarkson, « Uniformly convex spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 40,‎ 1936, p. 396-414 (lire en ligne).
Carothers 2004, p. 121.
(en) D. Milman, « On some criteria for the regularity of spaces of type (B) », C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, vol. 20,‎ 1938, p. 243-246.
(en) B. J. Pettis, « A proof that every uniformly convex space is reflexive », Duke Math. J., vol. 5,‎ 1939, p. 249-253 (zbMATH 0021.32601).
(en) S. Kakutani, « Weak topologies and regularity of Banach spaces », Proc. Imp. Acad. Tokyo, vol. 15,‎ 1939, p. 169-173 (lire en ligne).
(en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer, coll. « GTM » (n^o 92), 2012 (lire en ligne), p. 137.
(en) J. R. Ringrose, « A note on uniformly convex spaces », J. London Math. Soc., vol. 34,‎ 1959, p. 92 (lire en ligne).
Tirée de Ringrose 1959, dont s'inspire Brezis. Pour une autre preuve, voir (en) William B. Johnson (de) et Joram Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1, Elsevier, 2001, 1016 p. (ISBN 978-0-08-053280-6, lire en ligne), p. 31.
(en) Olof Hanner (en), « On the uniform convexity of $L p$ and $l p$ », Ark. Mat., vol. 3,‎ 1956, p. 239-244 (DOI 10.1007/BF02589410).
(en) Paolo Roselli et Michel Willem, « A convexity inequality », Amer. Math. Month., vol. 109, n^o 1,‎ 2002, p. 64-70 (lire en ligne [ps]).
Carothers 2004, p. 115.

Article connexe

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[1] Cette définition provient de Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 51.

[2] Beaucoup d'auteurs, à la suite de Clarkson 1936, ne définissent la convexité uniforme que pour un espace a priori de Banach.

[3] (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP, 2004, 184 p. (ISBN 978-0-521-60372-0, lire en ligne), p. 114 ou N. Bourbaki, EVT (lire en ligne), V.66, exercice 31.

[4] (en) Shizuo Kakutani, « Weak convergence in uniformly convex spaces », Tohoku Math. J., vol. 45,‎ 1939, p. 188-193 (lire en ligne).

[5] (en) J. A. Clarkson, « Uniformly convex spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 40,‎ 1936, p. 396-414 (lire en ligne).

[6] Carothers 2004, p. 121.

[7] (en) D. Milman, « On some criteria for the regularity of spaces of type (B) », C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, vol. 20,‎ 1938, p. 243-246.

[8] (en) B. J. Pettis, « A proof that every uniformly convex space is reflexive », Duke Math. J., vol. 5,‎ 1939, p. 249-253 (zbMATH 0021.32601).

[9] (en) S. Kakutani, « Weak topologies and regularity of Banach spaces », Proc. Imp. Acad. Tokyo, vol. 15,‎ 1939, p. 169-173 (lire en ligne).

[10] (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer, coll. « GTM » (n^o 92), 2012 (lire en ligne), p. 137.

[11] (en) J. R. Ringrose, « A note on uniformly convex spaces », J. London Math. Soc., vol. 34,‎ 1959, p. 92 (lire en ligne).

[12] Tirée de Ringrose 1959, dont s'inspire Brezis. Pour une autre preuve, voir (en) William B. Johnson (de) et Joram Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1, Elsevier, 2001, 1016 p. (ISBN 978-0-08-053280-6, lire en ligne), p. 31.

[13] (en) Olof Hanner (en), « On the uniform convexity of $L p$ and $l p$ », Ark. Mat., vol. 3,‎ 1956, p. 239-244 (DOI 10.1007/BF02589410).

[14] (en) Paolo Roselli et Michel Willem, « A convexity inequality », Amer. Math. Month., vol. 109, n^o 1,‎ 2002, p. 64-70 (lire en ligne [ps]).

[15] Carothers 2004, p. 115.