Théorème de Vaschy-Buckingham

Soient ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$,…${\displaystyle a_{n}}$ des quantités physiques, dont les ${\displaystyle p}$ premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les ${\displaystyle (n-p)}$ dernières à des unités dérivées des ${\displaystyle p}$ unités fondamentales (par exemple ${\displaystyle a_{1}}$ peut être une longueur, ${\displaystyle a_{2}}$ une masse, ${\displaystyle a_{3}}$ un temps, et les ${\displaystyle (n-3)}$ autres quantités ${\displaystyle a_{4}}$, ${\displaystyle a_{5}}$,…${\displaystyle a_{n}}$ seraient des forces, des vitesses, etc.; alors ${\displaystyle p=3}$). Si entre ces ${\displaystyle n}$ quantités il existe une relation :

${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots a_{n})=0,}$

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en ${\displaystyle (n-p)}$ paramètres au plus, soit:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n-p})=0,}$

les paramètres ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$,…${\displaystyle x_{n-p}}$ étant des fonctions monômes de ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$,…${\displaystyle a_{n}}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle x_{1}=A.a_{1}^{\alpha 1}a_{2}^{\alpha 2}\ldots a_{n}^{\alpha n}}$, avec ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$).

En dynamique des fluides, la plupart des situations dépendent des dix quantités physiques suivantes :

l	${\displaystyle L}$	Longueur
D	${\displaystyle L}$	Diamètre
ε	${\displaystyle L}$	Longueur de rugosité
V	${\displaystyle LT^{-1}}$	Vitesse du fluide
ρ	${\displaystyle ML^{-3}}$	Masse volumique du fluide
Δp	${\displaystyle ML^{-1}T^{-2}}$	Différence de pression
g	${\displaystyle LT^{-2}}$	Accélération de la pesanteur
μ	${\displaystyle ML^{-1}T^{-1}}$	Viscosité dynamique ou absolue
σ	${\displaystyle MT^{-2}}$	Tension de surface
K ou Ev	${\displaystyle M^{-1}LT^{2}}$	Compressibilité

Ces dix quantités sont définies à travers trois dimensions, ce qui permet de définir 10-3=7 nombres sans dimension indépendants. Les variables qui apparaîtront le plus probablement comme dimensionnantes sont V, ρ, et l, qui seront donc pour cette raison choisies comme nouvelles grandeurs de base.

On en déduit les nombres sans dimension qui en dépendent :

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {{\Delta }p}{{\rho }V^{2}}}=C_{P}}$, coefficient de pression

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {V}{\sqrt {gl}}}=\mathrm {Fr} }$, nombre de Froude

${\displaystyle \pi _{3}={\frac {Vl\rho }{\mu }}=\mathrm {Re} }$, nombre de Reynolds

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {V^{2}l\rho }{\sigma }}=\mathrm {We} }$, nombre de Weber

${\displaystyle \pi _{5}={\frac {V}{\sqrt {\frac {K}{\rho }}}}=\mathrm {Ma} }$, nombre de Mach

${\displaystyle \pi _{6}={\frac {l}{D}}}$, rapport longueur/diamètre

${\displaystyle \pi _{7}={\frac {\varepsilon }{D}}}$, rugosité relative.

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités ${\displaystyle a_{p+1}}$, ${\displaystyle a_{p+2}}$,…${\displaystyle a_{n}}$ étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$,… ${\displaystyle \alpha '}$, ${\displaystyle \beta '}$… tels que les valeurs numériques des rapports

${\displaystyle {\frac {a_{p+1}}{a_{1}^{\alpha }a_{2}^{\beta }\ldots a_{p}^{\lambda }}}=x_{1},\ \ {\frac {a_{p+2}}{a_{1}^{\alpha '}a_{2}^{\beta '}\ldots a_{p}^{\lambda '}}}=x_{2},\ldots ,}$

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$, ${\displaystyle a_{4}}$ désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport ${\displaystyle {\frac {a_{4}}{a_{1}a_{2}a_{3}^{-2}}}}$, par exemple, aurait une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:

${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots a_{p},a_{p+1},a_{p+2},\ldots )=0,}$

peut s'écrire:

${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots a_{p},x_{1}a_{1}^{\alpha }a_{2}^{\beta }\ldots a_{p}^{\lambda },x_{2}a_{1}^{\alpha '}a_{2}^{\beta '}\ldots a_{p}^{\lambda '},\ldots )=0.}$

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$,… ${\displaystyle a_{p}}$, dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$,… ${\displaystyle x_{n-p}}$ ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$,… ${\displaystyle a_{p}}$, doit être indépendante de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n-p})=0.}$

Dans l'énoncé de Vaschy, les ${\displaystyle p}$ premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les ${\displaystyle p}$ premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimensions de ces quantités ne peuvent être écrites comme une fonction monôme des dimensions des autres quantités. Par exemple, prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique ${\displaystyle \rho }$, une aire ${\displaystyle A}$, une vitesse ${\displaystyle V}$ et une accélération ${\displaystyle a}$. Les variables ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle V}$ sont dimensionnellement indépendantes ; par contre les variables ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle a}$ ne le sont pas, car ${\displaystyle [a]=[V]^{2}[A]^{-1/2}}$.

Ce théorème est aussi nommé Théorème Π car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre Π pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham[2].