Graphe planaire

1) 2) 3) 4)

1. Ce graphe est clairement planaire, car il n'existe pas d'intersection entre deux arêtes.
2. C'est un graphe complet à quatre sommets (K4). Il est planaire : si on déplace le sommet 4 dans le triangle 1 2 3, on constate qu'il n'y a plus d'intersection d'arêtes.
3. C'est un graphe complet à 5 sommets (K5). Il n'est pas planaire.
4. C'est un graphe biparti complet à 6 sommets, 3 d'entre eux se connectant aux trois autres (K3,3). Il n'est pas planaire.

En fait, K5 et K3,3 sont les plus petits graphes non planaires, ce qui découle de la caractérisation ci-dessous.

Ne doit pas être confondu avec Théorème de fermeture/complémentaire de Kuratowski.

Le graphe des pays du monde reliés par un arête s'ils sont limitrophes n'est pas planaire car il possède une expansion de K₅ parmi ses sous-groupes partiels.

Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski a établi en 1930 la caractérisation suivante des graphes planaires :

Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne contient pas de sous-graphe partiel qui est une expansion de K₅ (le graphe complet à 5 sommets) ou K_3,3 (le graphe complet biparti à 3+3 sommets).

L'expansion (ou subdivision) d'un graphe est le résultat de l'ajout d'un ou plusieurs sommets sur une ou plusieurs arêtes (par exemple, transformation de l'arête •——• en •—•—•).

Quelques années plus tard le mathématicien allemand Klaus Wagner en donna une caractérisation semblable :

Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne compte pas K₅ ou K_3,3 parmi ses mineurs.

Un mineur d'un graphe est le résultat de la contraction d'arêtes (fusionnant les extrémités), la suppression d'arêtes (sans fusionner les extrémités), et la suppression de sommets (et des arêtes adjacentes).

La différence entre ces deux caractérisations est minuscule, mais Wagner fit la conjecture[1] que ce dernier admettrait une généralisation que celle de Kuratowski n'admettait pas. Il supposait qu'il y aurait, pour chaque classe de graphes finis close par mineur, un ensemble fini de mineurs interdits qui la caractériserait. Une classe est dite close par mineur si elle comprend tous les mineurs de chaque graphe qu'elle comprend ; un graphe planaire, par exemple, est toujours planaire après la contraction ou suppression d'arêtes et de sommets, et pour cette classe les deux seuls mineurs interdits sont K₅ et K_3,3. Mais aussi notamment il existerait un nombre fini de mineurs interdits pour la classe des graphes qui peuvent se plonger sur un tore, ou sur une surface quelconque, et pour la classe de graphes qui peuvent se plonger dans l'espace à trois dimensions sans nœud, entre autres. Cette conjecture fut enfin prouvée en 2004 par Robertson et Seymour, mais de façon non-constructive : par exemple, on ne connaît toujours pas tous les mineurs interdits pour le plongement de graphe sur un tore. Pour plus d'informations, voir l'article théorème de Robertson-Seymour.

Le degré de la face non bornée de ce graphe planaire est égal à 6.

L'arête bleue est une boucle, les arêtes rouges sont multiples.

Dans toute la suite du paragraphe, nous utiliserons les notations suivantes :

• ${\displaystyle G}$ désigne un graphe planaire,
• ${\displaystyle n}$ son nombre de nœuds,
• ${\displaystyle a}$ son nombre d'arêtes (ou de liens),
• ${\displaystyle f}$ son nombre de faces.

Une face est une composante connexe du complémentaire du graphe dans le plan. Le degré d'une face ${\displaystyle F}$ est la longueur de son cycle frontière, on considère un chemin le plus court possible d'origine confondue avec son extrémité, le nombre d'arêtes (avec leur multiplicité) est le degré de la face ${\displaystyle F}$. Il est noté ${\displaystyle {\text{deg}}(F)}$. On obtient une première formule presque évidente[2] :

${\displaystyle (1)\quad \sum _{F}{\text{deg}}(F)=2a.}$

En effet, chaque arête élément d'un cycle borde deux faces, une arête partagée par aucun cycle est parcourue deux fois par le chemin frontière de la composante non bornée du complémentaire du graphe.

Formule d'Euler et conséquences

La formule d'Euler pour un graphe planaire connexe est[3] :

${\displaystyle n-a+f=2.}$

Une méthode simple pour la démontrer est de l'établir pour un graphe sans cycle (à une face), puis par récurrence d'ajouter les arêtes qui engendrent des cycles. Cette formule permet de démontrer que tout graphe simple planaire connexe, ayant au moins trois sommets, vérifie la majoration suivante[4].

${\displaystyle (2)\quad a\leq 3n-6.}$

Un graphe simple est un graphe sans boucle (une boucle est une arête qui possède une origine et une extrémité confondues) et sans arête multiple (des arêtes multiples sont des arêtes ayant même origine et même extrémité). Cette formule se démontre simplement : toute face est de degré au moins égal à 3, car le graphe comporte au moins trois nœuds et est simple. On en déduit, par la formule (1), que 3f est inférieur ou égal à 2a. La formule d'Euler permet de conclure.

Cette formule implique que les graphes planaires sont des graphes creux. De plus, leur arboricité est bornée par 3.

Cette majoration est à l'origine d'une démonstration du fait que K₅ n'est pas planaire. En effet, K₅ dispose de 10 arêtes, et 5 nœuds, ce résultat est incompatible avec la majoration (2). Si, avec les hypothèses de la majoration (2), le graphe est sans triangle, on dispose alors de la majoration :

${\displaystyle (3)\quad a\leq 2n-4.}$

Le raisonnement est le même, mais cette fois-ci le degré d'une face est au moins égal à 4. On en déduit que K_3,3 n'est pas planaire[4]. Les détails sont donnés dans l'article « Énigme des trois maisons ».

Démonstration de la formule d'Euler

Un premier lemme est utile :

• Tout graphe planaire connexe peut s'obtenir en adjoignant des arêtes à un arbre connexe ayant les mêmes nœuds[5] :

Un arbre est un graphe ne contenant qu'une unique face. On procède par récurrence sur f, le nombre de faces du graphe.

Supposons que le graphe ne possède qu'une unique face, le graphe est un arbre et la proposition est trivialement vérifiée. Supposons que la proposition est vraie pour f et montrons-la pour un graphe G à f + 1 faces. Le théorème de Jordan montre que s'il existe plusieurs faces, il existe une courbe de Jordan formée par des arêtes. Si l'on retranche une des arêtes A de la courbe au graphe G, les parties droite et gauche du complémentaire du graphe, qui formaient précédemment deux faces, n'en font plus qu'une et ce qui reste de la courbe de Jordan garantit que G est toujours connexe. Le graphe amputé de A vérifie les hypothèses de récurrence et s'obtient en adjoignant des arêtes à un arbre connexe. Ajouter la dernière arête A fournit le graphe initial.

• Formule d'Euler[6] :

Démontrons la proposition tout d'abord pour un arbre, par récurrence sur le nombre n de ses nœuds. Si l'arbre ne contient qu'un unique nœud, il possède une face et aucune arête, la formule est vérifiée. On suppose que la formule est vraie pour n, montrons-la pour un arbre G contenant n + 1 nœuds. Comme l'arbre ne contient qu'une unique face, il contient au moins un nœud N connecté à une unique arête (sinon le théorème de Jordan garantirait l'existence d'au moins deux faces.). L'arbre G privé de ce nœud et de l'arête adjacente est un arbre connexe contenant n nœuds, il vérifie l'hypothèse de récurrence. Ajouter le nœud N et l'arête associée correspond à ajouter un nœud et une arête, la formule d'Euler reste vraie pour G, ce qui termine cette première étape.

Démontrons maintenant la proposition pour un graphe connexe, par récurrence sur le nombre f de ses faces. Si f est égal à 1, la formule est vérifiée d'après la récurrence précédente. Supposons-la vraie pour tout graphe ayant f faces et montrons-la pour un graphe G ayant f + 1 faces. La récurrence du lemme montre qu'il est possible de retrancher une arête à G de manière que le nouveau graphe soit encore connexe et ait exactement f faces. La formule d'Euler est alors vérifiée par hypothèse de récurrence. Rajouter l'arête manquante ne modifie pas le nombre de nœuds, et incrémente de un le nombre d'arêtes et de faces. La formule d'Euler est encore vérifiée, ce qui termine la démonstration.

La conjecture de Scheinerman, maintenant démontrée, énonce que tout graphe planaire est le graphe d'intersection de segments dans le plan.

Un graphe de mouvement brut à gauche ; le même graphe réorganisé à droite.

Un exemple simple pour illustrer l'intérêt des graphes planaires est une énigme, dite des trois maisons initialement posée sous forme mathématique par H. E. Dudeney en 1917[7]. Elle prend la forme suivante : « Un lotissement de trois maisons doit être équipé d'eau, de gaz et d'électricité. La règlementation interdit de croiser les canalisations pour des raisons de sécurité. Comment faut-il faire[8] ? »

Cependant, l'intérêt pour les graphes planaires est plus ancien, il remonte au théorème des quatre couleurs. Depuis, de nombreux problèmes difficiles du point de vue algorithmique (NP-complet) se sont avérés faciles dans cette classe particulière ; toutefois pour la plupart de ces problèmes seule l'interdiction du mineur K5 est nécessaire.

La propriété de planarité est à l'origine des questions plus générales de plongement de graphe sur des surfaces (graph embedding) : peut-on plonger un graphe donné sur une surface donnée ?

La propriété de planarité d'un graphe le rend plus abordable au cerveau humain^{[réf. nécessaire]} comme en témoigne l'exemple du problème du cavalier aux échecs ci-dessous :

Sur un échiquier, on dispose un cavalier. Le but est de le faire passer par toutes les cases, une seule fois par case, en respectant le mouvement classique de la pièce aux échecs. Pour illustrer le problème, on utilise ici un plateau de quatre cases sur trois rangées. Le problème est représenté par un graphe de mouvement ; les sommets du graphe correspondent aux cases de l’échiquier ; les arcs figurent les mouvements possibles. Ainsi, à partir de la case 1, il est possible de se rendre à la case 8 ou à la case 6 car celles-ci sont liées à la première sur le graphe.

Présenté de cette manière, le problème reste complexe. Toutefois, le graphe est planaire et on peut le représenter de façon plus intuitive. On peut facilement extraire de cette nouvelle représentation une solution (tracée en vert) partant de la case 3 et arrivant à la case 10.

De façon plus terre à terre, il était plus facile de concevoir les tout premiers circuits imprimés à transistors quand le graphe du circuit était planaire : on évitait alors de devoir recourir au procédé bicouche ou à des « straps » fragiles pour s'échapper du plan du circuit imprimé.