Théorème de prolongement de Tietze

Dans (ii), l'espace ℝ peut évidemment être remplacé par n'importe quel espace homéomorphe, comme un intervalle ouvert non vide ]–M, M[. De même, dans (iii), [–M, M] peut être remplacé par n'importe quel segment réel, comme le segment [0, 1].

On verra au cours de la preuve que l'hypothèse de séparation est en fait inutile. Un espace est dit normal s'il est à la fois T₄ et séparé or, d'après le lemme d'Urysohn, un espace X (séparé ou pas) vérifie T₄ si et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue de X dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G. On va en déduire les équivalences : (ii) ⇔ (iii) ⇔ T₄.

• (iii) ⇒ T₄ : il suffit d'appliquer (iii) à la fonction f de A = F ⋃ G dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G.
• (iii) ⇒ (ii) s'en déduit : si f de A dans ]–M, M[ possède un prolongement continu g de X dans [–M, M], elle en possède aussi un de X dans ]–M, M[, en multipliant g par une fonction continue de X dans [0,1] qui vaut 1 sur A et qui s'annule aux points où g vaut M ou –M.
• La réciproque (ii) ⇒ (iii) est immédiate : si f de A dans [–M, M] possède un prolongement continu g de X dans ℝ, elle en possède aussi un de X dans [–M, M], obtenu en « rabotant » g, i.e. en remplaçant par M (resp. –M) tous les g(x) > M (resp. < –M).

Il reste à prouver que T₄ ⇒ (iii). On utilise pour cela un lemme :

• Si X est un espace T₄ alors, pour toute application continue f sur un fermé A de X et à valeurs dans [–M, M], il existe une fonction continue g₁ de X dans [–M/3, M/3] telle que${\displaystyle \forall x\in A\quad |f(x)-g_{1}(x)|\leq {\frac {2M}{3}}.}$En effet soient A_– et A₊ les images réciproques par f de [–M, –M/3] et [M/3, M] : d'après le lemme d'Urysohn, il existe une application continue g₁ de X dans [–M/3, M/3] qui vaut –M/3 sur A_– et M/3 sur A₊, donc qui vérifie les conditions requises.
• T₄ ⇒ (iii) :
  En effet, on déduit du lemme l'existence d'une suite d'applications g_k continues sur X telles que :${\displaystyle (1)\quad \forall x\in A\quad \left|f(x)-\sum _{k=1}^{n}g_{k}(x)\right|\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{n}M,}$${\displaystyle (2)\quad \forall x\in X\quad \left|g_{k}(x)\right|\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{k}M/2.}$D'après la majoration (2), la série des g_k est normalement convergente donc uniformément convergente. Sa somme g est donc une application continue sur X car son terme général l'est. De plus, | g | ≤ M. D'après la majoration (1), la restriction de g à A coïncide avec f.