Théorème de prolongement de Dugundji

Soient X un espace métrisable, A un fermé de X et L un espace localement convexe. Alors :

• toute application continue f de A dans L admet un prolongement continu F de X dans L dont l'image F(X) est incluse dans l'enveloppe convexe de f(A)[5]^,[6]^,[7]

ou, ce qui est équivalent :

• toute application continue de A dans un convexe K de L admet un prolongement continu de X dans K[8].

La première version du théorème de prolongement de Tietze correspondait au cas particulier du théorème ci-dessus où l'espace L est la droite réelle. Elle a été généralisée par Urysohn en remplaçant l'espace métrisable X de départ par n'importe quel espace normal[9]. Le théorème de prolongement de Dugundji est une généralisation transverse, qui remplace l'espace ℝ d'arrivée par n'importe quel espace localement convexe[4]. Il existe une autre généralisation du théorème de Tietze, en supposant que l'espace X de départ est paracompact et que l'espace L d'arrivée est de Banach[10].

Pour une distance d fixée sur X, considérons, dans l'ouvert X\A, le recouvrement constitué des boules ouvertes B(x, d(x, A)/2) de X\A, quand x parcourt cet espace.

Puisque tout espace métrique est paracompact, il existe un recouvrement ouvert localement fini (U_i)_i∈I de X\A dont chaque ouvert est inclus dans l'une de ces boules : U_i ⊂ B(x_i, d(x_i, A)/2).

On choisit alors une partition de l'unité (ϕ_i)_i∈I subordonnée à ce recouvrement et pour tout i, un point a_i de A tel que d(x_i, a_i) ≤ 2d(x_i, A), et l'on prolonge f en posant :

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}x\in A,\\\sum _{i\in I}\phi _{i}(x)f(a_{i})&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

L'application F est clairement continue sur X\A. Montrons[3] qu'elle l'est aussi en tout point a de A. Pour tout voisinage convexe C de f(a), il existe un réel δ > 0 tel que f(B(a, δ)∩A) ⊂ C. Pour affirmer que pour tout x ∈ B(a, δ/6)\A, f(x) ∈ C (ce qui conclura), il suffit d'utiliser que pour tout U_i contenant x, a_i ∈ B(a, δ), d'après les inégalités suivantes :

d(x, a_i) ≤ d(x, x_i) + d(x_i, a_i) ≤ d(x, x_i) + 2d(x_i, A) ≤ 5d(x_i, A) – 5d(x, x_i) ≤ 5d(x, A), d'où

d(a, a_i) ≤ d(a, x) + d(x, a_i) ≤ 6d(a, x).

Extenseur absolu

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