Tore algébrique

Un tore algébrique de dimension ${\displaystyle d}$ sur un corps ${\displaystyle k}$ est un schéma en groupes (en) ${\displaystyle \mathbb {T} }$ qui vérifie[8]^,[9]^,[Note 2] :

$${\displaystyle \mathbb {T} \times _{k}{\overline {k}}\simeq \left(\mathbb {G} _{m}\right)^{d}}$$

où ${\displaystyle {\overline {k}}}$ est la clôture algébrique[Note 3] de ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ est le groupe multiplicatif. On dit plus généralement d'une extension ${\displaystyle L}$ de ${\displaystyle k}$ telle que ${\displaystyle \mathbb {T} \times _{k}L\simeq (\mathbb {G} _{m})^{d}}$ qu'elle « déploie » le tore. La plus petite telle extension est appelée corps de rupture du tore. Si le tore est déployé sur ${\displaystyle k}$, sans qu'il y ait besoin d'étendre les scalaires, on dit qu'il est « scindé ».

Dans le cas où ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$ est un corps fini, un tore de dimension ${\displaystyle d}$ est déployé par ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}}$ et correspond à la donnée d'un ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module de rang ${\displaystyle d}$ et d'un automorphisme d'ordre ${\displaystyle n}$[7].

On associe à un tore ${\displaystyle \mathbb {T} }$ l'ensemble ${\displaystyle X(\mathbb {T} )=\operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {G} _{m})\simeq \mathbb {Z} ^{d}}$ qui possède une structure naturelle de réseau euclidien, et qui est donc appelé « réseau des caractères » de ce tore. La notion duale existe, et l'ensemble ${\displaystyle Y(\mathbb {T} )=\operatorname {Hom} (\mathbb {G} _{m},\mathbb {T} )\simeq \mathbb {Z} ^{d}}$ est appelé « réseau des cocaractères ».

Le foncteur qui associe au tore son réseau des caractères forme une (anti-)équivalence de catégories. Ainsi, de même que la dualité de Pontriaguine classifie les groupes abéliens compacts via leurs caractères, les tores algébriques sont classifiés par leur réseau de caractères.

Soit ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$, de clôture algébrique ${\displaystyle {\overline {k}}=\mathbb {C} }$, on note ${\displaystyle \sigma }$ le seul élément non nul de ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$. Il y a deux tores de dimension 1 sur ${\displaystyle k}$, qui correspondent aux deux actions de ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$ sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ : ou bien ${\displaystyle \sigma }$ agit comme l'identité (et on obtient le tore scindé ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(\mathbb {R} )}$) ou bien elle agit comme ${\displaystyle -1}$ et on obtient un tore dont les points réels forment un cercle unité : le groupe ${\displaystyle U(1)}$.