Triacontaèdre rhombique tronqué

Il ne faut pas le confondre avec l'icosaèdre tronqué qui lui ressemble beaucoup, mais qui n'a que 20 hexagones :

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  Triacontaèdre rhombique tronqué
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  Icosaèdre tronqué

Ce n'est pas un solide de Johnson malgré les apparences, car bien que convexe, toutes ses faces ne sont pas strictement régulières, c'est également le cas du triakitétraèdre tronqué et du dodécaèdre rhombique tronqué.

Ce nom de « triacontaèdre rhombique tronqué » est ambigu, car seulement 12 des sommets originels ont été tronqués, alors qu'un polyèdre tronqué désigne généralement un polyèdre dont tous les sommets ont été tronqués. Un autre polyèdre complètement différent peut être obtenu par troncature de tous les sommets.

C'est la forme de la molécule de fullerène C80. Cette forme est parfois appelée C80(Ih), pour décrire sa symétrie de type icosaèdre le distinguer ainsi des autres fullerènes à 80 sommets, possédant moins de symétries.

Si son arête a pour longueur a,

• son volume vaut, en utilisant la formule du volume du triacontaèdre rhombique (où ${\displaystyle \varphi }$ est le nombre d'or) :

  ${\displaystyle V=\left(4{\sqrt {3+4\varphi }}\times \left(1+{\frac {\sqrt {2+\varphi }}{2}}\right)^{3}-{\frac {1+3\varphi }{2}}\right)a^{3}\approx 88{,}5\,a^{3}}$ ;

• son aire vaut (où ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\arccos {\frac {-1}{\sqrt {5}}}\approx 58{,}3^{\circ }}$) :

  ${\displaystyle A=15{\bigl (}\tan(54)+4(1+\cos \alpha )\sin \alpha {\bigr )}a^{2}\approx 98{,}5\,a^{2}}$.

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