Cómo entender cálculo

Ten en cuenta que el cálculo es el estudio de cómo las cosas cambian. El cálculo es una rama de las matemáticas que observa números y líneas, generalmente del mundo real, y describe cómo cambian. Si bien esto puede no parecer útil al principio, el cálculo es una de las ramas de las matemáticas más usadas en el mundo. Imagina tener las herramientas para examinar cuán rápido está creciendo tu negocio en cualquier momento o para trazar el rumbo de una nave espacial y cuán rápido consume combustible. El cálculo es una herramienta importante en la ingeniería, la economía, la estadística, la química y la física, y ha ayudado a crear muchas invenciones y descubrimientos del mundo real.

Recuerda que las funciones son relaciones entre dos números y se usan para mapear relaciones en el mundo real. Las funciones son reglas que determinan la forma en que los números se relacionan unos con otros y los matemáticos las usan para crear gráficos. En una función, cada valor ingresado produce un resultado. Por ejemplo, en y = 2x + 4, cada valor de "x" te da un nuevo valor de "y". Si x = 2, entonces y = 8; si x = 10, entonces y = 24.^[1] Todo el cálculo estudia funciones para ver cómo cambian, usando funciones para mapear relaciones en el mundo real.

• Las funciones a menudo se escriben como f(x) = x + 3. Esto significa que, en la función f(x), siempre se le suma 3 al número que ingreses para "x". Si quieres ingresar 2, escribe f(2) = 2 + 3, o f(2) = 5.
• Las funciones también pueden mapear movimientos complejos. Por ejemplo, la NASA tiene funciones que indican la velocidad de un cohete con base en la cantidad de combustible quema, la resistencia del viento y el peso de la nave.

Piensa en el concepto de infinito. Infinito es cuando repites un proceso una y otra vez. No es un lugar específico (no puedes ir al infinito) sino más bien el comportamiento de un número o ecuación si se realiza para siempre. Esto es importante para estudiar el cambio: es posible que quieras saber cuán rápido se está moviendo tu auto en cualquier momento determinado, ¿pero eso significa a qué velocidad estabas en ese segundo actual? ¿En ese milisegundo? ¿En ese nanosegundo? Podrías encontrar cantidades infinitamente más pequeñas de tiempo para ser particularmente preciso y ahí es donde entra el cálculo.

Comprende el concepto de los límites. Un límite te indica lo que sucede cuando algo está cerca del infinito. Toma el número 1 y divídelo entre 2. Luego continúa dividiéndolo entre 2 una y otra vez. 1 se volvería 1/2, luego 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Cada vez, el número se hace más y más y más pequeño, "acercándose" más a cero. Pero ¿dónde terminaría? ¿Cuántas veces tienes que dividir entre 2 para obtener cero? En el cálculo, en lugar de responder a esta pregunta, estableces un límite. En este caso, el límite es igual a 0.

• Los límites son más fáciles de ver en un gráfico. Por ejemplo, son los puntos que un gráfico casi toca, pero nunca lo hace.
• Los límites pueden ser un número, nada o incluso infinito. Por ejemplo, si sumas 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... por siempre, tu número final sería infinitamente grande. El límite sería infinito.

Revisa los conceptos matemáticos esenciales del álgebra, la trigonometría y el precálculo. El cálculo se basa en muchas de las formas de matemáticas que has aprendido durante mucho tiempo. Conocer estos temas completamente te permitirá aprender y comprender el cálculo con mucha más facilidad. Algunos temas que debes repasar son:

• Álgebra. Comprende diferentes procesos y sé capaz de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones para múltiples variables. Comprende los conceptos básicos de los conjuntos. Infórmate acerca de cómo graficar ecuaciones.
• Geometría. La geometría es el estudio de las formas. Comprende los conceptos básicos de los triángulos, cuadrados y círculos, y cómo calcular cosas como el área y el perímetro. Comprende los ángulos, líneas y sistemas de coordenadas.
• Trigonometría. La trigonometría es una rama de las matemáticas que lidia con las propiedades de los círculos y los triángulos rectángulos. Conoce cómo usar las identidades trigonométricas, los gráficos, las funciones y las funciones trigonométricas inversas.

Compra una calculadora gráfica. El cálculo es increíblemente difícil de entender sin ver lo que estás haciendo. Las calculadoras gráficas toman funciones y las hacen visuales para ti, permitiéndote comprender mejor el trabajo que estás haciendo. A menudo, puedes ver límites en la pantalla y calcular derivadas y funciones automáticamente.

• Muchos smartphones y tabletas ofrecen actualmente aplicaciones baratas pero efectivas para graficar si no quieres comprar una calculadora completa.

Ten en cuenta que el cálculo se usa para estudiar el "cambio instantáneo". Saber por qué algo cambia en un momento exacto es el meollo del cálculo. Por ejemplo, el cálculo te indica no solamente la velocidad de tu auto sino también cuánto cambia dicha velocidad en cualquier momento determinado. Este es uno de los usos más simples del cálculo, pero es increíblemente importante; ¡imagina cuán útil sería este conocimiento para la velocidad de una nave espacial intentando llegar a la luna!^[2]

• Encontrar el cambio instantáneo se llama diferenciación. El cálculo diferencial es la primera de las dos ramas principales del cálculo.

Usa derivadas para comprender cómo las cosas cambian instantáneamente. "Derivada" es una palabra que suena sofisticada e inspira ansiedad. Sin embargo, el concepto en sí no es tan difícil de captar; simplemente significa "cuán rápido algo está cambiando". Las derivadas más comunes en la vida diaria tienen relación con la velocidad. Es probable que no le llames la "derivada de la velocidad", pero puedes llamarla "aceleración".

• La aceleración es una derivada; te indica cuán rápido algo aumenta o disminuye la velocidad, o cómo cambia esta.

Ten en cuenta que el ritmo de cambio es la pendiente entre dos puntos. Este es uno de los hallazgos clave del cálculo. El ritmo de cambio entre dos puntos es igual a la pendiente de la línea que los conecta. Piensa en una línea básica, como la ecuación y = 3x. La pendiente de la línea es 3, lo que significa que, por cada nuevo valor de "x", "y" se multiplica por 3. La pendiente es lo mismo que el ritmo de cambio: una pendiente de 3 significa que la línea cambia por un factor de 3 por cada cambio en "x". Cuando x = 2, y = 6; cuando x = 3, y = 9.

• La pendiente de una línea es el cambio en "y" dividido entre el cambio en "x".
• Mientras más grande sea la pendiente, la línea será más empinada. Puede decirse que las líneas empinadas cambian muy rápidamente.
• Repasa cómo encontrar la pendiente de una línea si no lo recuerdas bien.

ten en cuenta que puedes hallar la pendiente de líneas curvas. Encontrar la pendiente de una línea recta es bastante simple: ¿cuánto cambia "y" por cada valor de "x"? Pero las ecuaciones complejas con curvas, como y = x², son mucho más difíciles de encontrar. Sin embargo, de todas formas puedes encontrar el ritmo de cambio entre dos puntos cualquiera; simplemente dibuja una línea entre ellos y calcula la pendiente para encontrar el ritmo de cambio.

• Por ejemplo, en y = x², puedes tomar dos puntos cualquiera y obtener la pendiente. Toma (1,1) y (2,4). La pendiente entre ellos sería igual a (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Esto significa que el ritmo de cambio entre x = 1 y x = 2 es 2.

Haz que los puntos estén más cerca para obtener un ritmo de cambio más preciso. Mientras más cerca estén los dos puntos, es más probable que tengas una respuesta precisa. Digamos que quieres saber cuán rápido acelera tu auto justo cuando presionas el pedal del acelerador. No quieres medir el cambio en velocidad entre tu casa y el supermercado, quieres medir el cambio en velocidad el segundo después de presionar el acelerador. Mientras más cerca esté tu medida de ese instante, tu lectura será más precisa.

• Por ejemplo, los científicos estudian la velocidad a la que algunas especies se están extinguiendo para tratar de salvarlas. Sin embargo, a menudo mueren más animales en el invierno que en el verano, así que estudiar el ritmo de cambio a lo largo de todo el año no es tan útil; los científicos encontrarían el ritmo de cambio entre puntos más cercanos, como del 1ero de julio al 1ero de agosto.

Usa líneas infinitamente pequeñas para hallar el "ritmo instantáneo de cambio" o la derivada. Aquí es donde el cálculo a menudo se vuelve confuso, pero esto es en realidad el resultado de dos hechos simples. Primero, sabes que la pendiente de una línea es igual a cuán rápido cambia. Segundo, sabes que mientras más cerca estén los puntos de la línea, la lectura será más precisa. Pero ¿cómo puedes encontrar el ritmo de cambio en un punto si la pendiente es la relación entre dos puntos? La respuesta del cálculo: eliges dos puntos infinitamente cercanos uno de otro.

• Piensa en el ejemplo en el que continuabas dividiendo 1 entre 2 una y otra vez, obteniendo 1/2, 1/4, 1/8, etc. A la larga, llegas tan cerca de cero que la respuesta es "prácticamente cero". Aquí, los puntos están tan cerca unos de otros que son "prácticamente instantáneos". Esta es la naturaleza de las derivadas.

Aprende a calcular una variedad de derivadas. Existen muchas técnicas diferentes para encontrar una derivada dependiendo de la ecuación, pero la mayoría tiene sentido si recuerdas los principios básicos de las derivadas resumidos anteriormente. Las derivadas son básicamente una forma de encontrar la pendiente de tu línea "infinitamente pequeña". Ahora que conoces la teoría de las derivadas, una gran parte del trabajo consiste en encontrar las respuestas.

Busca ecuaciones derivadas para predecir el ritmo de cambio en cualquier momento. Usar derivadas para encontrar el ritmo de cambio en un punto es útil, pero la belleza del cálculo es que te permite crear un nuevo modelo para cada función. Por ejemplo, la derivada de y = x² es Y^l = 2x. Esto significa que puedes encontrar la derivada para cada punto en el gráfico y = x² simplemente sustituyéndolo en la ecuación derivada. En el punto (2, 4), donde x = 2 e y = 4, la derivada es 4, ya que Y^l = 2*(2).

• Las derivadas generalmente se etiquetan con un superíndice; la derivada de la ecuación Y a menudo se escribe como Y^l, por ejemplo.

Recuerda ejemplos de derivadas del mundo real en caso de que aún tengas dificultades para comprenderlo. El ejemplo más fácil se basa en la velocidad, la cual ofrece muchas derivadas diferentes que vemos todos los días. Recuerda: una derivada es una medida que indica lo rápido a lo que algo está cambiando. Piensa en el experimento básico de rodar una canica en una mesa, en el que mides cuán lejos y cuán rápido se mueve cada vez. Ahora imagina que la canica está trazando una línea en un gráfico; aquí deberás emplear las derivadas para medir los cambios instantáneos en cualquier punto de esa línea.

• ¿Cuán rápido cambia de ubicación la canica? ¿Cuál es el ritmo de cambio, o la derivada, del movimiento de la canica? Esta derivada es a lo que llamamos "velocidad".
• Rueda la canica por una pendiente y observa cuán rápido adquiere velocidad. ¿Cuál es el ritmo de cambio, o la derivada, de la velocidad de la canica? Esta derivada es a lo que llamamos "aceleración".
• Rueda la canica por una vía que vaya hacia arriba y hacia abajo, como una montaña rusa. ¿Cuán rápido adquiere velocidad cuesta abajo y cuán rápido pierde velocidad cuesta arriba? ¿Cuán rápido se mueve exactamente a mitad de camino cuesta arriba por la primera pendiente? Este sería el ritmo de cambio instantáneo, o la derivada, de esa canica en ese punto específico.

Ten en cuenta que debes utilizar el cálculo para hallar áreas y volúmenes complejos. El cálculo te permite medir formas complejas que normalmente son demasiado difíciles. Por ejemplo, considera la posibilidad de tratar de averiguar cuánta agua hay en un lago largo y de una forma peculiar. Sería imposible medir cada galón de agua por separado o usar una regla para medir la forma del lago. El cálculo te permite estudiar cómo los bordes del lago cambian y usar esa información para averiguar cuánta agua hay dentro de él.

• Hacer modelos geográficos y estudiar el volumen es usar la integración. La integración es la segunda rama principal del cálculo.

Comprende que la integración encuentra el área debajo de un gráfico. La integración se usa para medir el espacio debajo de cualquier línea, lo cual te permite encontrar el área de formas extrañas o irregulares. Considera la ecuación y = x², la cual parece una U gigante. Es posible que quieras averiguar cuánto espacio hay debajo de la U y puedes usar la integración para encontrarlo. Si bien esto puede parecer inútil, piensa en los usos en la fabricación; puedes hacer una función que parezca una parte nueva y usar la integración para averiguar el área de esa parte, lo que te ayuda a hacer un pedido de la cantidad correcta de ese material.

Ten en cuenta que es necesario seleccionar un área para integrar. No puedes simplemente integrar toda una función. Por ejemplo, y = x es una línea diagonal que sigue infinitamente y no puedes integrarla toda porque nunca terminaría. Al integrar funciones, tienes que elegir un área, como todos los puntos entre x = 2 y x = 5.

Recuerda cómo encontrar el área de un rectángulo. Imagina que tienes una línea plana sobre un gráfico, como y = 4. Para encontrar el área debajo de ella, encontrarías el área de un rectángulo entre y = 0 e y = 4. Esto es fácil de medir, pero nunca funcionaría para líneas curvas que no pueden convertirse fácilmente en rectángulos.

Ten en cuenta que la integración suma muchos rectángulos pequeños para hallar el área. Si te enfocas muy de cerca en una curva, se ve plana. Esto sucede todos los días; no puedes ver la curva de la Tierra porque estamos tan cerca de su superficie. La integración crea un número infinito de rectángulos debajo de una curva que son tan pequeños que son básicamente planos, lo cual te permite medirlos. Súmalos para obtener el área debajo de una curva.

• Imagina que estás sumando muchos trozos pequeños debajo del gráfico y el ancho de cada trozo es casi cero.

Averigua cómo leer y escribir integrales correctamente. Las integrales tienen 4 partes. Una integral típica se ve así:

∫ f(x) dx
El primer símbolo (∫) es el símbolo de la integración. La segunda parte, f(x), es donde pones la función (2x + 2, t², etc.), y "dx" al final te dice qué dirección medir.

• Si la integral está seguida de "dy" en lugar de "dx", significa que estás midiendo horizontalmente al eje "y", pero esto generalmente es para problemas más complejos.

Aprende a hallar integrales. La integración viene en muchas formas y necesitarás aprender muchas fórmulas diferentes para integrar cada función. Sin embargo, todas siguen los principios resumidos anteriormente: la integración encuentra un número infinito de rectángulos para sumarlos. Estas son las diferentes formas de encontrar integrales:

• Integrar por sustitución
• Integrar integrales indefinidas
• Integrar por partes

Ten en cuenta que la integración invierte la diferenciación. Esta es una regla incuestionable del cálculo, y la que ha llevado a muchos avances científicos y tecnológicos. Debido a que la integración y la diferenciación están tan estrechamente relacionadas, una combinación de ambas puede usarse para encontrar el ritmo de cambio, la aceleración, la velocidad, la ubicación, el movimiento, etc., independientemente de la información que tengas.

• Por ejemplo, recuerda que la derivada de la velocidad es la aceleración, así que puedes usar la velocidad para hallar la aceleración. Pero, si solo sabes la aceleración de algo (como los objetos que se caen debido a la gravedad), puedes integrarla para encontrar la velocidad. Por lo tanto, independientemente de los datos que tengas, puedes usar la integración y la diferenciación para averiguar más.