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Página 5: A decomposição prima e os divisores

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A decomposição prima e os divisores

Uma das vantagens de encontrar a decomposição prima de um número é que nos permite saber quantos divisores têm e calculá-los facilmente.

Observe: a decomposição prima de 360 é 2xx2xx2xx3xx3xx5 e se usamos as propriedades associativa e comutativa, podemos encontrar decomposições não primas do número.

Por exemplo, se associamos os três primeiros fatores e os três últimos, obtemos que  360=8xx45 . Isto permite concluir que 8 e 45 são divisores de 360 :

8 e 45 são divisores de 360.

Se comutamos e associamos de outra forma, encontramos outros divisores: 360=(2xx2xx3)xx(2xx3xx5)=12xx30 onde vemos que  12 e 30 também são divisores de 360 .

Todos os divisores de um número são apresentado quando multiplicamos as diferentes combinações de fatores da sua decomposição prima.

Quantos divisores têm um número?

Quando escrevemos a decomposição prima em forma de potências é fácil determinar quantos divisores têm um número. A única coisa que devemos fazer é somar uma unidade para cada expoente e multiplicar os resultados.

Continuando com o exemplo de 360 , se escrevemos sua decomposição em forma de potências obteremos:

Decomposição de 360 em potências.

Os expoentes nesta decomposição são 3 , 2 e 1 e quando somamos uma unidade com cada um e multiplicamos os resultados obtemos:

Somamos uma unidade com cada expoente, e depois multiplicamos os resultados.

Isso quer dizer que 360 tem 24 divisores.

Como encontrar todos os divisores?

Já sabemos que para obter os divisores de um número multiplicamos diferentes combinações de seus fatores primos. Contudo, este processo pode ser confuso, porque em algumas ocasiões é fácil esquecer algumas destas combinações. Por isso, veja este método para encontrar tudo sem problemas. Continuamos com o número 360 como exemplo:

Passo 1: Escrevemos uma fileira com todas as potências do primeiro fator primo

Neste caso o primeiro fator primo é 2. Observe que seu expoente é 3 , então as diferentes potências são: 2^0=1 , 2^1=2 , 2^2=4 e 2^3=8 .

Fazemos uma fileira com todos os resultados dessas potências:

escrevemos uma fileira com as potências do primeiro fator primo.

Passo 2: Multiplicamos cada potência do segundo fator pela fileira anterior

O segundo fator é 3 e este tem exponente 2 , por isso devemos considerar os fatores 3^1=3 e 3^2=9 . Multiplicamos a fileira do passo 1 por cada um destes números. Obteremos como resultado outras duas fileiras, ou seja, um total de três.

Multiplicamos a fila por cada potencia do segundo fator.

Não é necessário considerar o fator 3^0=1 , porque ao multiplicar a primeira fileira por 1 , obtemos a mesma fileira sem alterações.

Passo 3: Multiplicamos cada potência do terceiro fator por todas as fileiras anteriores

Agora devemos repetir o passo anterior com todas as potências do terceiro fator. Neste caso o terceiro fator é 5 , e como tem expoente 1 , só multiplicamos as fileiras anteriores por 5^1=5 .  

Multiplicamos todas as potencias do terceiro fator por todas as fileiras anteriores.

Se o expoente do 5 tivesse sido por exemplo, 2 , teríamos que multiplicar cada fileira também por 25 , e isso produziria três fileiras adicionais.

Como não há mais fatores na decomposição de 360 o processo está terminado. Veja que na tabela temos exatamente 24 números, estes são todos os divisores de 360 . 

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