Comment calculer la suite de Fibonacci

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La suite de Fibonacci est une suite de nombres ayant un lien commun, chacun des termes est la somme des deux termes précédents. Les nombres de cette suite sont à l’origine de la structure de nombreuses œuvres d’art, ils servent à tracer des spirales et à approcher le nombre d’or. La façon la plus simple d’établir la suite est de dresser un tableau, mais cette méthode est vite fastidieuse si l’on vous demande de trouver, par exemple, le centième terme de la suite. C’est pour cela qu’on utilise alors la formule de Binet.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Utiliser un tableau

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Faites un tableau à deux colonnes. Quant au nombre de lignes à tracer, il va dépendre du nombre d’éléments de la suite de Fibonacci que vous voulez.
- Ainsi, si vous voulez connaitre le cinquième nombre de la suite, votre tableau devra comporter cinq lignes.
- Avec cette méthode, il n’est pas possible de déterminer le nième terme de la suite sans avoir calculé les termes précédents. À titre d’exemple, pour connaitre le centième nombre de la suite, vous devez calculer les quatre-vingt-dix-neuf nombres précédents. Dans ces conditions, vous comprenez aisément que cette méthode ne peut convenir qu’aux premiers nombres de la suite.
2
Inscrivez la position des nombres dans la colonne de gauche. Vous commencerez en mettant « 1^er », puis « 2^e » et ainsi de suite.
- Cette colonne renferme la position de chacun des termes de la suite de Fibonacci.
- Ainsi, si vous voulez connaitre la valeur du cinquième terme de la suite, vous inscrirez dans la colonne de gauche « 1^er », « 2^e », « 3^e », « 4^e » et « 5^e ». Vous pourrez ainsi inscrire facilement les cinq premiers termes de la suite de Fibonacci
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Inscrivez 1 sur la première ligne et dans la colonne de droite. C’est la valeur de départ de la suite de Fibonacci. Dit autrement, le premier terme de la suite est 1.
- La vraie suite de Fibonacci commence à 1 (ou 0, comme on le verra par la suite). Si vous démarrez avec une valeur différente, vous n’aurez pas une vraie suite de Fibonacci, mais une autre qui lui ressemble.
4
Faites la somme de 0 et du premier terme (1). Vous obtenez ainsi le deuxième nombre de la suite.
- Pour mémoire, pour obtenir la valeur d’un terme de la suite de Fibonacci, vous devez tout simplement additionner les valeurs des deux termes précédents.
- En fait, avec la suite de Fibonacci, il faut imaginer qu’il y a un 0 avant le premier terme (1) de la suite, et ainsi vous avez : 0 + 1 = 1.
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Faites la somme des premier et deuxième termes. Vous obtenez le troisième nombre de la suite.
- 1 + 1 = 2, le troisième terme de la suite est 2.
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Additionnez les deuxième et troisième termes. En additionnant 1 et 2, vous obtenez le quatrième terme de la suite.
- 1 + 2 = 3, le quatrième terme de la suite est 3.
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Additionnez les troisième et quatrième termes. En additionnant 2 et 3, vous obtenez le cinquième nombre de la suite.
- 2 + 3 = 5, le cinquième terme de la suite est 5.
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Additionnez deux termes consécutifs pour trouver le terme suivant. Pour obtenir la valeur d’un terme de la suite de Fibonacci, vous devez tout simplement additionner les valeurs des deux termes précédents. Sous forme mathématique, vous utilisez en fait la formule : $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ ^{[1]
X
Source de recherche}. Cette formule est récursive, c’est-à-dire que, pour trouver la valeur d’un nième terme vous devez obligatoirement calculer tous les termes précédents.

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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Utiliser la formule de Binet et le nombre d’or

1
Inscrivez la formule de Binet. Elle se présente ainsi : $x_{n}$ $x_{{n}}$ = ${\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}$ ${\frac {\phi ^{{n}}-(1-\phi )^{{n}}}{{\sqrt {5}}}}$ . Dans cette formule, $x_{n}$ $x_{{n}}$ est la valeur du nième terme à trouver, $n$ $n$ , la position du terme dans la suite et $\phi$ $\phi$ , le nombre d’or ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Cette formule n’est pas du tout récursive, ce qui fait que vous n’êtes pas obligé de faire nombre de calculs préliminaires pour trouver le nième terme de la suite de Fibonacci.
- Cette formule est simplifiée par rapport à celle établie au départ par Binet, simplifiée, mais équivalente ^{[3]
  X
  Source de recherche}.
- Cette formule contient le nombre d’or ( $\phi$ ), car le rapport de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci est très proche du nombre d’or ^{[4]
  X
  Source de recherche}.
2
Remplacez $n$ par sa valeur. Cette valeur $n$ $n$ représente la place du terme recherché dans la suite.
- Ainsi, si vous devez trouver le cinquième terme de la suite, remplacez $n$ par 5. Votre formule se présente alors ainsi : $x_{5}$ = ${\frac {\phi ^{5}-(1-\phi )^{5}}{\sqrt {5}}}$ .
3
Remplacez dans la formule le nombre d’or par sa valeur. Pour faciliter les calculs, prenez comme valeur arrondie 1,618034 ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, si vous devez trouver le cinquième terme de la suite, la formule se présente désormais ainsi : $x_{5}$ = ${\frac {(1,618034)^{5}-(1-1,618034)^{5}}{\sqrt {5}}}$ .
4
Faites en priorité les opérations entre parenthèses. Selon l’ordre des opérations, vous devez d’abord faire les calculs des opérations entre parenthèses : $1-1,618034=-0,618034$ $1-1,618034=-0,618034$ .
- Dans notre exemple, l’équation se présente alors sous la forme suivante : $x_{5}$ = ${\frac {(1,618034)^{5}-(-0,618034)^{5}}{\sqrt {5}}}$ .
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Faites les calculs des puissances. Faites-le pour les deux termes élevés à la puissance $n$ $n$ . Aidez-vous d’une calculatrice.
- Dans notre exemple, cela donne $1,618034^{5}=11,090170$ et $-0,618034^{5}=-0,090169$ . L’équation se présente alors ainsi : $x_{5}={\frac {11,090170-(-0,090169)}{\sqrt {5}}}$ .
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Faites la soustraction. Avant de passer à la division, vous devez faire la soustraction située en numérateur.
- Dans notre exemple, la soustraction est la suivante : $11,090170-(-0,090169)=11,180339$ , soit $11,090170+0,090169=11,180339$ , si bien que l’équation devient : $x_{5}$ = ${\frac {11,180339}{\sqrt {5}}}$ .
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Divisez le numérateur par la racine carrée de 5. Prenez comme racine carrée de 5 (arrondie) 2,236067.
- Dans notre exemple, nous aurons : ${\frac {11,180339}{2,236067}}=5,000002$ .
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Arrondissez la réponse à l’entier le plus proche. Le résultat obtenu est la plupart du temps un nombre décimal, très proche d’une valeur entière. C’est cette valeur qui est à retenir, car la suite ne contient que des entiers.
- Si vous aviez utilisé la vraie valeur du nombre d’or, sans l’arrondir, vous auriez forcément obtenu un entier. Cependant, il vaut mieux prendre une valeur approchée, puis arrondir le résultat, plutôt que d’utiliser la vraie valeur du nombre d’or qui entrainerait des calculs compliqués ^{[6]
  X
  Source de recherche}.
- Dans notre exemple, après calculs, vous avez dû obtenir 5,000002 ou un nombre approchant. Les termes de la suite de Fibonacci étant des entiers, arrondissez à l’entier le plus proche : le cinquième terme de la suite de Fibonacci est 5.
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