Comment calculer la variable centrée réduite

La variable centrée réduite ou z-score vous permet de dire à combien d'écarts-types, en dessus ou en dessous de la moyenne, se situe un échantillon d'une série de données [1] . Pour trouver la variable centrée réduite d'un élément de l'échantillon, vous aurez besoin de trouver la moyenne, la variance et l'écart-type de votre échantillon. Ensuite, vous devrez faire la différence entre la valeur de cet élément et la moyenne de l'échantillon, puis diviser ce résultat par l'écart-type du même échantillon. Si vous suivez les étapes suivantes, vous verrez que calculer la variable centrée réduite n'est pas si difficile qu'il y paraît. Certes, cela fait beaucoup de calculs, mais ils sont simples.

Partie 1
Partie 1 sur 4:

Calculer la moyenne

  1. Image intitulée Calculate Z Scores Step 1
    1
    Observez de près votre échantillon. Pour calculer une moyenne arithmétique concernant un échantillon, il faut connaître un certain nombre d'informations sur les éléments le composant  [2] .
  2. Image intitulée Calculate Z Scores Step 2
    2
    Groupez les valeurs que vous voulez étudier. Pour pouvoir vous lancer dans les calculs, il faut en premier lieu connaître toutes les valeurs des éléments de votre échantillon [3] .
    • La moyenne exprime la grandeur qu'aurait chacun des éléments de votre échantillon s'ils étaient tous identiques.
    • Pour le calcul de la moyenne, rien de plus simple : vous additionnez toutes les valeurs de votre échantillon, somme que vous divisez ensuite par la taille de l'échantillon.
    • En mathématiques, on a coutume d'appeler n la taille de l'échantillon. Dans le cas choisi, on a 5 palmiers donc n = 5.
  3. Image intitulée Calculate Z Scores Step 3
    3
    Additionnez toutes les hauteurs des palmiers de l'échantillon. C'est la première étape avant le calcul de la moyenne arithmétique [4] .
    • Prenons un échantillon de 5 palmiers, dont les hauteurs sont : 7 m, 8 m, 8 m, 7,5 m et 9 m.
    • 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5 : telle est la somme de toutes les hauteurs de l'échantillon.
    • Vérifiez que vous avez les bons nombres et fait les bons calculs.
  4. Image intitulée Calculate Z Scores Step 4
    4
    Divisez cette somme par la taille de l'échantillon (n). Vous obtiendrez ainsi la taille moyenne d'un palmier [5] .
    • Dans notre échantillon, on a les hauteurs suivantes : 7, 8, 8, 7,5 et 9 m, soit 5 palmiers. Ainsi, n = 5.
    • La somme des hauteurs est de 39,5 m. Vous devez diviser cette somme par 5 pour avoir la taille moyenne d'un palmier.
    • 39,5/5 = 7,9.
    • La taille moyenne d'un palmier est de 7,9 m. En mathématiques, le plus souvent, la moyenne est symbolisée par x̄. Ici, x̄ = 7,9.
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Partie 2
Partie 2 sur 4:

Trouver la variance

  1. Image intitulée Calculate Z Scores Step 5
    1
    Trouvez la variance. La variance est une mesure qui indique de quelle manière la série statistique se disperse autour de sa moyenne [6] .
    • Cette mesure permet de savoir si vos données sont proches ou non, les unes des autres (dispersion).
    • Un échantillon avec une petite variance contient des données très proches de la moyenne dudit échantillon.
    • Un échantillon avec une grande variance contient des données assez éloignées de la moyenne dudit échantillon.
    • Cette variance est souvent utilisée pour comparer entre elles deux séries de données ou deux échantillons.
  2. Image intitulée Calculate Z Scores Step 6
    2
    Soustrayez de chaque donnée étudiée la moyenne. Vous aurez ainsi une idée de la dispersion de vos données par rapport à la moyenne [7] .
    • Si on reprend notre échantillon de palmiers (7, 8, 8, 7,5 et 9 mètres), on a calculé que la moyenne était de 7,9 m.
    • 7 - 7,9 = - 0,9, 8 - 7,9 = 0,1, 8 - 7,9 = 0,1, 7,5 - 7,9 = - 0,4 et 9 - 7,9 = 1,1,
    • Vérifiez ces calculs pour voir s'il n'y a pas d'erreurs. En effet, de ces résultats, vont dépendre les calculs suivants.
  3. Image intitulée Calculate Z Scores Step 7
    3
    Élevez au carré tous ces résultats. Vous aurez besoin de chacune de ces valeurs pour calculer la variance de votre échantillon [8] .
    • Précédemment, nous avions soustrait de chaque donnée de l'échantillon (7, 8, 8, 7,5 et 9) la moyenne (7,9), ce qui nous avait donné : - 0,9, 0,1, 0,1, - 0,4 et 1,1.
    • (-0,9)2 = 0,81 (0,1)2 = 0,01 (0,1)2 = 0,01 (-0,4)2 = 0,16 et (1,1)2 = 1,21
    • À ce stade, on a les valeurs suivantes : 0,81 0,01 0,01 0,16 et 1,21
    • Vérifiez ces calculs avant d'aller plus loin
  4. Image intitulée Calculate Z Scores Step 8
    4
    Faites-en la somme. C'est ce qu'on appelle « la somme des carrés » [9] .
    • Pour notre exemple, on a : 0,81 0,01 0,01 0,16 et 1,21.
    • 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2
    • La somme des carrés est donc de 2,2
    • Vérifiez ce calcul avant d'aller plus loin.
  5. Image intitulée Calculate Z Scores Step 9
    5
    Divisez la somme des carrés par (n-1). Souvenez-vous : n est la taille de l'échantillon (nombre d'éléments qui le composent). En faisant ce calcul, vous obtenez la variance [10] .
    • Pour notre échantillon (7, 8, 8, 7,5 et 9 m), la somme des carrés était de 2,2
    • Il y a 5 éléments dans l'échantillon, ce qui fait que n = 5.
    • n - 1 = 4
    • La somme des carrés étant de 2,2, on a une variance de : 2,2 / 4.
    • 2,2 / 4 = 0,55
    • La variance de notre échantillon est de 0,55.
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Partie 3
Partie 3 sur 4:

Calculer l'écart-type

  1. Image intitulée Calculate Z Scores Step 10
    1
    Vous devez avoir la valeur de la variance. Elle est nécessaire au calcul de l'écart-type de l'échantillon que vous étudiez [11] .
    • La variance est une mesure qui indique la dispersion des données d'une série statistique autour de la moyenne de la série.
    • L'écart-type mesure la dispersion des données de votre échantillon autour de la moyenne.
    • Pour notre échantillon, la variance était de 0,55.
  2. Image intitulée Calculate Z Scores Step 11
    2
    Prenez la racine carrée de la variance. Ce calcul vous donne l'écart-type [12] .
    • Pour notre échantillon, la variance était de 0,55.
    • √0,55 = 0,741619848709566. Il est très fréquent d'obtenir des valeurs avec beaucoup de décimales. Généralement, on arrondit au centième ou au millième pour l'écart-type. Ici, on arrondira à 0,74.
    • En arrondissant, l'écart-type de notre échantillon est de 0,74
  3. Image intitulée Calculate Z Scores Step 12
    3
    Refaites vos calculs de la moyenne, de la variance, puis de l'écart-type (qui dépend des deux premiers). Ainsi, vous serez sûr d'avoir le bon écart-type.
    • Inscrivez noir sur blanc tous les calculs.
    • Ainsi, s'il y en a, vous pourrez voir où il y a eu erreur(s).
    • Si, lors de vos vérifications de la moyenne, de la variance et de l'écart-type, vous trouvez des valeurs différentes, reprenez tous vos calculs depuis le début.
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Partie 4
Partie 4 sur 4:

Calculer les variable centrée réduites

  1. Image intitulée Calculate Z Scores Step 13
    1
    Servez-vous de la formule suivante pour calculer la variable centrée réduite : z = X - μ / σ. Elle permet de calculer, pour chaque élément d'un échantillon, son variable centrée réduite [13] .
    • Le variable centrée réduite est une mesure qui permet de savoir l'écart à la moyenne d'une donnée d'un échantillon en matière d'écarts-types.
    • Dans la formule, X représente la valeur que vous voulez tester. Ainsi, si vous voulez tester la dispersion de la valeur 7,5 (de notre échantillon) par rapport à la moyenne, vous devez, dans la formule, remplacer X par 7,5.
    • Dans la formule, μ représente la moyenne. La moyenne de la hauteur des palmiers de notre échantillon est de 7,9
    • Dans la formule, σ représente l'écart-type. L'écart-type du même échantillon est de 0,74.
  2. Image intitulée Calculate Z Scores Step 14
    2
    Dans la formule, on commence par faire la soustraction de la valeur de la donnée étudiée à la moyenne. C'est la première étape du calcul du variable centrée réduite [14] .
    • Pour notre échantillon, nous allons calculer la variable centrée réduite du palmier de 7,5 m de haut. On commence par calculer sa distance par rapport à la moyenne de 7,9.
    • Vous devez faire : 7,5 - 7,9,
    • 7,5 - 7,9 = - 0,4.
    • Vérifiez que vous avez la bonne moyenne et que la soustraction est correcte avant d'aller plus loin.
  3. Image intitulée Calculate Z Scores Step 15
    3
    Divisez ensuite ce résultat (X - μ) par l'écart-type (σ). Vous aurez ainsi la variable centrée réduite du palmier de 7,5 m de haut [15] .
    • Parmi tous les palmiers de notre échantillon, nous cherchons la variable centrée réduite de celui de 7,5 m.
    • On a déjà calculé la différence X - μ et on a trouvé - 0,4.
    • Nous vous rappelons que l'écart-type de notre échantillon de palmiers est de 0,74.
    • - 0,4 / 0,74 = - 0,54
    • Pour ce palmier, la variable centrée réduite est de - 0,54.
    • Ce variable centrée réduite de - 0,54 indique que la hauteur du palmier de 7,5 m est inférieure de 0,54 fois l'écart-type par rapport à la moyenne des hauteurs des palmiers de l'échantillon.
    • Les variable centrée réduites sont aussi bien positifs que négatifs.
    • Un variable centrée réduite négatif indique la valeur de votre élément est inférieure à la moyenne, tandis qu'un variable centrée réduite positif indique une valeur supérieure à la moyenne.
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Références

  1. ↑ http://www.statisticshowto.com/how-to-calculate-a-variable centrée réduite/
  2. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  3. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  4. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  5. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  6. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  7. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  8. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  9. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  1. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  2. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  3. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
  4. ↑ https://statistics.laerd.com/statistical-guides/standard-score-2.php
  5. ↑ https://statistics.laerd.com/statistical-guides/standard-score-2.php
  6. ↑ https://statistics.laerd.com/statistical-guides/standard-score-2.php

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Catégories: Calculs
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