Comment calculer le périmètre d'un triangle

Coécrit par Grace Imson, MA

Calculer le périmètre d'un triangle équivaut à déterminer la longueur totale de son pourtour. La manière la plus simple consiste à ajouter la longueur de tous ses côtés, mais, si vous ne les connaissez pas toutes, vous serez immanquablement amené à calculer celles qui vous manquent. Nous allons donc vous expliquer dans un premier temps comment déterminer le périmètre d'un triangle si vous connaissez les longueurs de tous ses côtés, ceci étant la solution la plus simple. Vous apprendrez ensuite à calculer le périmètre d'un triangle rectangle en ne connaissant que la longueur de deux de ses côtés. Finalement, nous verrons comment calculer le périmètre d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs de deux de ses côtés et la valeur de l'angle qui les sépare grâce à la loi des cosinus.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Avec la longueur des trois côtés

1
Retenez la formule de calcul du périmètre d'un triangle. Le périmètre $P$ $P$ d'un triangle dont les côtés sont $a$ $a$ , $b$ $b$ et $c$ $c$ , a pour formule : $P=a+b+c$ $P=a+b+c$ .
- En termes plus simples, il vous suffit d'additionner la longueur de chacun de ses trois côtés pour obtenir le périmètre d'un triangle.
2
Relevez ou mesurez la longueur des trois côtés. Sur cette illustration, les longueurs de chacun des trois côtés $a$ $a$ , $b$ $b$ et $c$ $c$ sont égales et mesurent 5 cm.
- Le triangle représenté ici un « triangle équilatéral », parce que ses trois côtés sont de longueur égale. La formule du périmètre donnée plus haut s'applique à tous les triangles sans exception.
3
Ajoutez les longueurs des trois côtés pour calculer le périmètre. Dans notre exemple, $P=5\ cm+5\ cm+5\ cm=15\ cm$ $P=5\ cm+5\ cm+5\ cm=15\ cm$ .
- Si vous aviez un triangle dont les côtés $a$ , $b$ et $c$ mesurent respectivement 4, 3 et 5 cm, son périmètre $P$ serait de : $P=4\ cm+3\ cm+5\ cm=12\ cm$ .
4
N'oubliez pas l'unité de la réponse. Ici, nous avons indiqué à chaque étape du calcul l'unité (cm), c'est un bon moyen de ne pas l'oublier. La formule du périmètre suppose que toutes les dimensions soient dans la même unité, peu importe laquelle (m, cm, hm, km…) Il est possible de faire le calcul sans l'unité, puis de l'indiquer à la fin.
- Dans notre exemple, les longueurs des côtés mesurent chacune 5 cm : le périmètre de ce triangle est de 15 cm.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Avec deux côtés (triangle rectangle)

1
Souvenez-vous de ce qu'est un triangle rectangle. Il s'agit d'un triangle dont un des trois angles est droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit est toujours le côté le plus long, c'est l'hypoténuse. Ces triangles rectangles sont souvent un peu la bête noire des élèves à cause du théorème de Pythagore qui ne manque jamais d'apparaitre tôt ou tard.
2
Maitrisez le théorème de Pythagore. Son énoncé est le suivant : un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Soit $c$ la longueur de l'hypoténuse, et $a$ et $b$ les longueurs des autres côtés, alors, selon Pythagore,
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ .
3
Retenez la terminologie. Il est de coutume d'appeler $c$ l'hypoténuse, le plus grand des côtés, opposé à l'angle droit. Quant aux autres côtés, ils sont appelés $a$ et $b$ (mettez-les où vous voulez). Selon un des 2 autres angles, ils seront appelés côtés adjacents ou opposés.
4
Trouvez la longueur manquante. Vous avez un triangle rectangle dont des deux longueurs ( $a$ $a$ et $b$ $b$ ) sont connues, mais il vous manque celle de l'hypoténuse ( $c$ $c$ ) pour pouvoir calculer le périmètre. Grâce à Pythagore, vous allez poser que : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , puis remplacer $a$ $a$ et $b$ $b$ par leurs valeurs respectives.
- Prenons l'exemple d'un triangle rectangle dont la longueur $a$ est de 3 cm et celle du côté $b$ de 4 cm, placez ces valeurs comme suit dans la formule :
  $3^{2}+4^{2}=c^{2}$ .
- Si vous connaissez la longueur $c$ de l'hypoténuse et celle du côté $a$ de l'angle droit, vous devez écrire votre équation de la façon suivante : $6^{2}+b^{2}=10^{2}$ .
5
Calculez $c$ . La première étape consiste à élever au carré les deux valeurs connues, c'est-à-dire à les multiplier par elles-mêmes : $3^{2}=3\times 3=9$ $3^{2}=3\times 3=9$ et
$4^{2}=4\times 4=16$ $4^{2}=4\times 4=16$ ). L'étape suivante consiste à additionner ces valeurs, puis vous calculerez la racine carrée du résultat obtenu : ce nouveau résultat est tout simplement la longueur de $c$ $c$ . Si c'était un deux autres côtés qui était à trouver, vous soustrairiez les deux carrés connus, puis calculeriez la racine carrée du résultat.
- Dans le premier exemple, élevez au carré les valeurs de l'équation
  $c^{2}=3^{2}+4^{2}$ et vous trouverez que $c^{2}=25$ . Extrayez ensuite la racine carrée du nombre obtenu, ce qui vous donnera $c=5$ .
- Dans le second exemple, élevez au carré les valeurs de l'équation
  $6^{2}+b^{2}=10^{2}$ , ce qui vous donne : $36+b^{2}=100$ . Arrangée, l'équation devient : $b^{2}=100-36=64$ . Calculez la racine carrée de 64 et vous pouvez écrire que : $b=8$ .
6
Calculez le périmètre de votre triangle rectangle. Voilà ! Les longueurs des 3 côtés ( $a$ $a$ , $b$ $b$ et $c$ $c$ ) sont à présent connues, vous pouvez appliquer sans difficulté la formule établie plus haut : $P=a+b+c$ $P=a+b+c$ .
- Dans notre premier exemple, $P=3\ cm+4\ cm+5\ cm=12\ cm$ .
- Dans notre second exemple, $P=6\ cm+8\ cm+10\ cm=24\ cm$ .
Vous connaissez le périmètre, mais il vous manque la longueur d'un côté ? Faites la somme des longueurs des 2 autres côtés, puis ôtez ce résultat du périmètre, vous aurez la longueur manquante.

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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Avec la loi des cosinus

1
Retenez la loi des cosinus. Elle vous permet de calculer le périmètre d'un triangle lorsque vous connaissez la longueur de deux de ses côtés et la valeur de l'angle qu'ils forment. Cette loi fonctionne pour tous les triangles et est donc très utile. La loi des cosinus établit que pour tout triangle ayant comme côtés $a$ , $b$ et $c$ ,
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(C)$ , l'angle $C$ est celui formé par les côtés $a$ et $b$ .
2
Tracez une figure correcte. Souvent, il est bien, s'il n'est pas déjà donné dans l'exercice, de tracer votre triangle, à l'échelle ou non, sur lequel vous indiquerez toutes les informations données. Le premier côté de longueur connue sera $a$ $a$ , le second côté (longueur connue) sera $b$ $b$ et l'angle formé par ces côtés et connu sera $C$ $C$ . Vous indiquerez aussi $a$ $a$ qui est à déterminer.
- Soit un triangle dont deux des côtés mesurent 10 et 12 cm et l'angle qui les sépare est de 97°. L'assignation est la suivante : $a=10\ cm$ , $b=12\ cm$ et
  $C=97^{\circ }$ .
3
Calculez la longueur du côté $c$ . Élevez au carré les longueurs des deux côtés $a$ $a$ et $b$ $b$ , puis additionnez-les. Trouvez la valeur de $cos(C)$ $cos(C)$ avec votre calculatrice (touche cos) ou une calculatrice en ligne. Multipliez ensuite $cos(C)$ $cos(C)$ par $2ab$ $2ab$ . Soustrayez ce dernier résultat de la somme $a^{2}+b^{2}$ $a^{2}+b^{2}$ : le résultat est $c^{2}$ $c^{2}$ . Calculez enfin la racine carrée de cette valeur et vous obtiendrez la longueur du côté $c$ $c$ . Dans notre exemple, les calculs sont les suivants :
- $c^{2}=(10^{2}+12^{2})-(2\times 10\times 12\times cos(97^{\circ }))$
- $c^{2}=(100+144)-(240\times -0,12187)$ (cosinus arrondi à 5 décimales)
- $c^{2}=244-(-29,25)$
- $c^{2}=244+29,25$ (annulation des signes $-$ )
- $c^{2}=273,25$
- $c={\sqrt {273,25}}\approx {16,53}$
4
Calculez le périmètre de votre triangle. Voilà ! Les longueurs des 3 côtés
( $a$ $a$ , $b$ $b$ et $c$ $c$ ) sont à présent connues, vous pouvez donc appliquer la formule établie plus haut : $P=a+b+c$ $P=a+b+c$ .
- Dans notre exemple, $P=10\ cm+12\ cm+16,53\ cm=38,53\ cm$ , qui est donc le périmètre de notre triangle.
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