Comment diviser des logarithmes

Les logarithmes sont un outil mathématique permettant d'exprimer de grands nombres en des nombres plus petits et de transformer des produits en sommes. Faire la division de deux logs est simple à condition de bien connaitre les propriétés des logs. Le prérequis est exactement le même pour calculer le log d'une fraction.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Diviser des logarithmes sans calculatrice

1
Vérifiez l'argument de vos logs. L'argument est la valeur dont vous voulez le log : dans ${\log _{b}(x)}$ ${\log _{b}(x)}$ , $x$ $x$ est l'argument. Il ne doit jamais être négatif ou nul. Nous allons calculer 'un quotient de logs de forme ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Quelle que soit la base, le log d'un nombre négatif n'existe pas. C'est le cas de $\log(-3)$ (log de base 10) ou de $\log _{4}(-5)$ .
- De même, le logarithme de 0 n'existe pas. Et donc, si dans une équation, votre inconnue est $\ln(0)$ (log népérien), c'est que l'ensemble des solutions est vide.
- $\log(1)$ , quelle que soit la base du log est toujours égal à 0. Cela vient du fait que $x^{0}=1$ quelle que soit la valeur de $x$ . Si dans un calcul vous rencontrez ce log particulier, remplacez-le par 0.
- Si les deux logarithmes ont une base différente, à l'image de ${\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}$ , sauf exception, le problème ne peut être résolu sans calculatrice.
2
Convertissez le quotient de 2 logs en un log. Pour tout $x>1$ $x>1$ et tout $a>1$ $a>1$ , et c'est l'hypothèse que nous prendrons ici, une des formules liées aux propriétés des logarithmes établit que : ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)$ ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)$ ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Exercice 1 : trouvez le résultat de ${\frac {\log {(16)}}{\log {(2)}}}$ .
  Grâce à la formule vue précédemment, convertissez cette fraction en un logarithme, soit : ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)$ .
- La formule utilisée ici est celle du changement de base qui ne dépend pas des bases de départ.
3
Calculez si possible sans machine. Prendre le log d'une valeur, par exemple, $\log _{a}(x)$ $\log _{a}(x)$ , revient à trouver la puissance de la base de votre log qui donne votre argument : $a^{?}=x$ $a^{?}=x$ . Parfois, avec un peu de chance, ce sera possible mentalement ou après un petit calcul à l'écrit ^{[3]
X
Source de recherche}.
- Exercice 1 (suite) : vous devez calculer $\log _{2}(16)$ , voyez s'il y a une valeur $n$ telle que $2^{n}=16$ . Ce $n$ sera votre solution. Procédez par essais successifs :
  $2^{2}=2\times 2=4$
  $2^{3}=4\times 2=8$
  $2^{4}=8\times 2=16$
  Euréka ! C'est la valeur que vous cherchiez : $\log _{2}(16)$ = 4.
4
En cas de non-simplification possible, laissez la réponse telle quelle. C'est très souvent le cas, le calcul d'un log est difficile à faire à la main ou de tête. De deux choses l'une : ou votre professeur vous autorise la calculatrice et vous donnerez la valeur exacte, sinon, vous laisserez la réponse telle quelle, à l'image de l'exemple ci-dessous ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Exercice 2 : calculez ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}$ .
- Convertissez le quotient en un log. Cela donne : ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)$ (la base 3 des logs de départ a disparu, toutes autres bases auraient aussi disparu).
- Reformulez le log. Récrivez-le sous la forme $7^{n}=58$ et cherchez à déterminer
  $n$ :
  $7^{2}=7\times 7=49$
  $7^{3}=49\times 7=343$
  Votre argument (58) est entre ces 2 valeurs, $\log _{7}(58)$ n'est pas un entier.
- Laissez la réponse sous la forme $\log _{7}(58)$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Calculer le logarithme d'un quotient

1
Calculez le log d'une fraction. L'argument n'est pas forcément un entier, il peut être un rationnel non entier (fraction) et le log se présente sous la forme
$\log _{a}({\frac {x}{y}})$ $\log _{a}({\frac {x}{y}})$ ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Résolvez l'équation suivante (il faut trouver $n$ ) :
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$ , avec $n>0$
2
Vérifiez que l'argument est bien strictement positif. Le logarithme d'un nombre négatif étant indéfini, vous devez vérifier les signes des 2 valeurs de la fraction : elles doivent être du même signe (positives ou négatives ^{[6]
X
Source de recherche}).
- Si seul $x<0$ ou seul $y<0$ , alors votre équation n'admet aucune solution.
- Par contre, si $x$ et $y$ sont négatifs, vous pourrez résoudre l'équation en enlevant les 2 signes $-$ : ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$ .
- Vous le constatez, dans notre équation, il n'y a pas de logs de nombres négatifs : vous pouvez poursuivre le raisonnement et le calcul.
3
Transformez le log d'un quotient en une soustraction de logs. Une des propriétés des logs établit l'égalité suivante : $\log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$ $\log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$ . Dit autrement, le logarithme d'un quotient est égal à la différence du log du numérateur et du log du dénominateur ^{[7]
X
Source de recherche}.
- Dans notre équation, nous allons utiliser avec intérêt cette égalité, ce qui donne :
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)$
- Remplaçons le terme de gauche par cette nouvelle expression, ce qui donne :
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
4
Calculez éventuellement certains logarithmes. À ce stade, et si c'est possible, calculez les logarithmes.
- Dans notre équation, le terme $\log _{3}(27)$ nous met en alerte. Comme 3³ = 27, alors $\log _{3}(27)$ = 3.
- L'équation se présente comme suit :
  $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
5
Isolez l'inconnue ( $n$ ). Si vous savez résoudre une équation du premier degré, vous ne devriez pas être dépaysé(e). Isolez l'inconnue à gauche et groupez le reste à droite. Dans ce dernier membre, regroupez les termes qui peuvent l'être.
- $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
  $9-\log _{3}(6n)=-\log _{3}(6)$ (somme des termes constants)
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$ (isolement de l'inconnue $n$ ).
6
Utilisez d'autres propriétés des logarithmes. Dans la résolution d'une équation afin de bien isoler l'inconnue, il faut utiliser diverses propriétés des termes impliqués, ici ce sont celles des logarithmes. Simplifiez et reformulez l'équation afin que $n$ $n$ soit l'argument sans coefficient.
- Avec notre équation, $n$ est certes isolé, mais dans un produit ( $6n$ ), il faut se servir de la propriété qui transforme le log d'un produit en une somme de logs.
  Transformez votre log en vous appuyant sur l'égalité qui veut que : $\log _{a}(bc)=\log _{a}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{3}(6n)=\log _{3}(6)+\log _{3}(n)$
- Remplacez le terme de gauche :
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
7
Poursuivez la résolution. Ce n'est pas parce qu'il y a des logs que les lois de l'algèbre ne s'appliquent pas. Déplacez les termes, simplifiez et vous aurez votre solution ! Quand tout sera simplifié, vous utiliserez une calculatrice pour trouver votre réponse et arrondirez selon les consignes données.
- $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(n)=9$ (les 2 $\log _{3}(6)$ s'annulent)
  Comme $3^{9}=19683$ , alors $n=19683$ .
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