Comment multiplier des puissances

Coécrit par David Jia

En algèbre, vous rencontrerez souvent des expressions avec des exposants (aussi appelés puissances). La puissance d’une valeur est le résultat de la multiplication de cette valeur par elle-même autant de fois que l’indique l’exposant. Il existe des règles concernant les puissances, comme celle qui veut que le produit de deux puissances du même nombre soit une puissance de ce nombre, cette dernière étant la somme des exposants précédents. Quand les bases sont différentes, la résolution du problème se résume à un calcul direct.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Multiplier des puissances ayant une même base

1
Assurez-vous que les bases sont identiques. La base est une valeur, littérale ou numérique, élevée à une puissance et se place sur la ligne principale d’écriture. La méthode détaillée ici ne fonctionne qu’avec des expressions ayant la même base.
- Vous allez pouvoir l’utiliser avec $5^{2}\times 5^{3}$ , car les deux bases sont identiques, à savoir 5. Par contre, simplifier $5^{2}\times 2^{3}$ avec cette méthode est impossible, car les bases sont différentes (5 et 2).
2
Additionnez les exposants. Pour cela, vous allez conserver la base à laquelle vous allez affecter comme exposant la somme des exposants ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Reprenons l’exemple $5^{2}\times 5^{3}$ . Vous allez garder la base (5) et additionnez les exposants, ce qui donne :
  $5^{2}\times 5^{3}$
  $5^{2}\times 5^{3}=5^{2+3}$
  $5^{2}\times 5^{3}=5^{5}$
3
Calculez l’expression trouvée. L’exposant vous indique combien de fois vous devez multiplier la base par elle-même ^{[2]
X
Source de recherche}. Selon les cas, le calcul de la puissance se fera de tête ou à la main, mais si la base est un grand nombre, vous utiliserez une calculatrice.
- Dans notre exemple, $5^{5}=5\times 5\times 5\times 5\times 5$ ,
  donc $5^{5}=3\ 125$ .
  En résumé, $5^{2}\times 5^{3}=3\ 125$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Multiplier des puissances ayant des bases différentes

1
Calculez la première puissance. En théorie, il n’existe pas de possibilité de grouper des valeurs élevées à une puissance ayant des bases différentes. Selon les cas, faites le calcul avec une calculatrice ou à la main. Élever une valeur à une puissance consiste à multiplier cette valeur par elle-même autant de fois que l’indique l’exposant.
- À titre d’exemple, essayons de simplifier $2^{3}\times 4^{5}$ . Vous avez deux valeurs différentes élevées à des puissances différentes. Calculez en premier $2^{3}$ , ce qui donne : $2^{3}=2\times 2\times 2=8$ .
2
Faites la même chose avec la seconde expression. Multipliez la base (ici, 4) par elle-même autant de fois que l’indique l’exposant.
- Calculez $4^{5}$ , ce qui donne $4^{5}=4\times 4\times 4\times 4\times 4=1\ 024$ .
3
Récrivez l’opération désormais simplifiée. Si l’on reprend l’exemple précédent, le produit se se présente sous la forme : $8\times 1\ 024$ .
4
Faites la multiplication à la main ou avec une calculatrice. Vous aurez la réponse au problème posé.
- Dans notre exemple : $8\times 1024=8\ 192.$ Votre réponse est donc : $2^{3}\times 4^{5}=8\ 192$ .
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Multiplier les puissances de plusieurs inconnues

1
Multipliez d’abord les coefficients entre eux. Multipliez-les tout simplement et mettez le résultat en début d’expression, en dehors des parenthèses ^{[3]
X
Source de recherche}.
- En multipliant les coefficients (2 et 8) et en sortant le résultat des parenthèses, l’expression $(2x^{3}y^{5})(8xy^{4})$ devient :
  $((2)x^{3}y^{5})((8)xy^{4})=16(x^{3}y^{5})(xy^{4})$ .
2
Additionnez les exposants de la première variable. En ne prenant que les puissances ayant la même base, vous additionnez leurs exposants. Toute variable sans exposant est supposée avoir un exposant de 1 ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Dans notre exemple, on regroupe les $x$ :
  $16(x^{3}y^{5})(xy^{4})=16(x^{3})y^{5}(x)y^{4}=16(x^{3+1})y^{5}y^{4}=16(x^{4})y^{5}y^{4}$ .
3
Additionnez les exposants des autres variables. Comme précédemment, vous ne pouvez additionner les exposants que s’ils ont la même base et si une des variables est sans exposant, elle est supposée en avoir un égal à 1.
- Dans notre exemple, on regroupe les $y$ :
  $16(x^{4})(y^{5}y^{4})=16x^{4}(y^{5+4})=16x^{4}y^{9}$ .
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