اختبار خاركي بيرا

باعتبار عينة تضم ${\displaystyle n}$ عنصرا إحصائيا ببياناتهم وفق متغير كمي ${\displaystyle X}$ ، الفرضية المنعدمة ونقيضتها هما:

• ${\displaystyle H_{0}}$: البيانات موزعة طبيعيا
• ${\displaystyle H_{1}}$: البيانات غير موزعة طبيعيا

إحصائية الاختبار يشار إليها ب ${\displaystyle JB}$ وتساوي:[2] ${\displaystyle JB={\frac {n}{6}}(\beta _{1}^{2}+{\frac {(\beta _{2}-3)^{2}}{4}})}$

بحيث ${\displaystyle \beta _{1}}$ و${\displaystyle \beta _{2}}$ هما على التوالي معاملا التجانف والتفرطح حسب قيم العينة.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\beta _{1}={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\\&\beta _{2}={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}}$ و${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}}$ هما مقدرا العزمين من الرتبتين الثالثة والرابعة بينما ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$ تمثل تباين العينة.

الفرضية المنعدمة يمكن كتابتها أيضا على شكل: ${\displaystyle H_{0}:(\beta _{1},\beta _{2})=(0,3)}$ وهما قيمتا التجانف والتفرطح في حالة التوزيع الطبيعي.

الإحصائية ${\displaystyle JB}$ موزعة حسب توزيع خي-تربيع بدرجتي (2) حرية.

العتبة الحرجة، التي بموجبها ترفض الفرضية تكون بدلالة عتبة القيمة الاحتمالية ${\displaystyle \alpha }$ ودرجة الحرية الموافقة لتوزيع خي تربيع (في هذه الحالة 2). باستخدام القيم الاحتمالية (p-value) وباعتبار عتبة ${\displaystyle \alpha }$ (في الغالب تعتبر عتبة 0.05):

• إذا كانت القيمة الاحتمالية أصغر من العتبة ${\displaystyle \alpha }$ ترفض الفرضية المنعدمة.
• إذا كانت القيمة الاحتمالية أكبر من العتبة ${\displaystyle \alpha }$، لا ترفض الفرضية المنعدمة.

• بوابة إحصاء