تفرطح

باعتبار متغير عشوائي حقيقي ${\displaystyle X}$ بمتوسط ${\displaystyle \mu }$ وانحراف معياري ${\displaystyle \sigma }$، معامل التفرطح للمتغير ${\displaystyle X}$ هو العزم من الرتبة الرابعة للتحويلة المعيارية ل ${\displaystyle X}$:[3]

${\displaystyle \beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]}$ وهو يساوي : ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}}$ مع ${\displaystyle \mu _{i}}$ العزم من الرتبة ${\displaystyle i}$ للمتغير ${\displaystyle X}$.

ويسمى أيضا بالتفرطح بإفراط (بالإنجليزية:Excess Kurtosis) ويقضي بطرح 3 من التفرطح الغير معير: ${\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3}$.

هذه الصيغة هي الأكثر استعمالا بين الإحصائيين، وتعرف بتفرطح فيشر، وأيضا في البرامج الإحصائية (التي تقوم بحساب قيمة مقدر بدون انحياز ل ${\displaystyle \gamma _{2}}$). يعزى هذا التفضيل إلى كون قيمة التفرطح بالنسبة لتوزيع طبيعي تساوي 3، وبذلك تعتبر حالة التوزيع الطبيعي كنوع من المعايرة القياسية لكل التوزيعات الأخرى.[3] [4][5]

المقدر الأكثر استخداما لحساب ${\displaystyle \gamma _{2}}$ هو:${\displaystyle G_{2}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\bar {x}}})^{4}}{{\hat {\sigma ^{2}}}^{2}}}-3{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}$

بحيث باعتبار ${\displaystyle {\hat {\bar {x}}}}$ و${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ هما المقدران، بدون انحياز، على التوالي للقيمة المتوقعة وتباين المتغير ${\displaystyle X}$.